Rotasjonsflate av cosh x

[Rickman]

I et eksamensett for Matte 1, lyder en oppgave som følger;

Bestem arealet til rotasjonsflaten som fremkommer når kurven
y = cosh x; [0 , ln 2]

dreies om linjen x = −1.

Jeg tenker:

Linjen x = -1 , er som en forskjøvet y-akse. Derfor må vi integrere med hensyn på y, siden formelen i calculus-boka lyder;

Rotasjon rundt y-aksen: [symbol:integral] 2 [symbol:pi] x [symbol:rot] (1 + (dx/dy))^2) dy (der x er en funksjon utrrykt ved y.)

Her
Men løsningsforslaget til eksamensettet gjør slik;


dA = 2 [symbol:pi] r ds = 2 [symbol:pi] (x + 1) [symbol:rot] (1+(dy/dx)^2)

A= [symbol:integral] 2 [symbol:pi] (x+1) cosh x dx [0,ln2]

Hvor er logikken? Kan noen hjelpe meg å se den?

[espen180]

Du kan jo forskyve funksjonen slik at rotasjonspunktet havner på x=0 istedet? Bare et forslag.

[Rickman]

Ja, men det var ikke dette jeg lurte på. Vi roterer jo fortsatt rundt y-aksen.

Det jeg lurer på er sammenheng med hvilken variabel man skal inegrere med hensyn på? Boka bruker formel med en formel uttrykt med y, mens løsnigsforslaget bruker en formel utrykt med x.

[Janhaa]

rotasjon om x-aksen:

[tex]O_x=2\pi \int_*^{**} y \sqrt{1+(y^,)^2}\,dx[/tex]

der radius er lik y
-----------------------

rotasjon om y-aksen:

[tex]O_y=2\pi \int_*^{**} x \sqrt{1+(x^,)^2}\,dy[/tex]

der radius er lik x
-----------------------

rotasjon om linja x = -1

[tex]O_{x=-1}=2\pi \int_*^{**} (x+1) \sqrt{1+(y^,)^2}\,dx[/tex]

der radius er lik (x + 1)