Sannsynlighet i Yatzy

[193]

For dem som har hatt moro med terningspillet Yatzy, finnes det to meget interessant tjenester på Internett: Optimal Solitaire Yahtzee Player og Yahtzee Proficiency Test: http://www-set.win.tue.nl/~wstomv/misc/yahtzee

Her i Norge er man mest vant til å spille Yatzy med fem terninger (med bl.a. ett par og to par) eller Maxi-Yatzy (evt. med såkalte jetoner, oppsparte kast), mens i denne "internasjonale" versjonen er reglene litt annerledes. Man spiller med fem terninger, uten opsjonene ett par og to par, og der liten straight tilsvarer fire terninger etter hverandre og stor straight fem terninger etter hverandre. Får man tre like eller fire like, får man også poeng for de andre terningene.

I Yatzy er det som kjent mye sannsynlighetsteori og statistikk. Applikasjonen gjør nytte av dette, og i Yahtzee Proficiency Test kan man selv prøve å finne de optimale trekkene, dvs. de trekkene som statistisk sett gir høyest forventet sluttverdi (gjennomsnittsverdi). Jeg har et konkret problem som jeg strevde en del med, nemlig tilfellet der man kun har stor straight igjen (er altså ekvivalent med liten straight eller stor straight i vanlig Yatzy med fem terninger i Norge). Man triller terningene og får:

22366

Spørsmålet er da: Skal man beholde 236 eller 23? Velger man det første alternativet, er man bundet til å prøve å få 23456, mens det andre alternativet også holder muligheten 12345 åpen. Dette problemet anså jeg som såpass ukomplisert at jeg brukte elementær sannsynlighetsteori for å løse det. Jeg presenterer fremgangsmåten under.

Innfører først hendelsene P(2-3-6), sannsynligheten for å få stor straight dersom man beholder 236, og P(2-3), sannsynligheten for å få stor straight dersom man beholder 23. Jeg kan ikke forklare hva alle brøkene nedenfor represententerer, men jeg foreslår at leseren kan regne på det selv og finne ut hvor jeg gjør feil. Jeg kommer nemlig frem til at P(2-3-6) > P(2-3), mens fasiten er "236__ 125.54 15 23___ 126.41 16 0.86", som betyr at 23 i gjennomsnitt gir 0,86 poeng høyere forventet sluttsum (med et standardavvik på 16 kontra 15).

[tex]P(2-3-6) = 1-(2/6*5/6*5/6+4/6(2/6*5/6+4/6*17/18))[/tex][symbol:tilnaermet][tex]0,16[/tex]

[tex]P(2-3) = 1-(2/6(2/6*5/6*5/6+4/6(2/6*5/6+4/6*17/18))+2/6(2/6*5/6*5/6+1/6*4/6*[/tex]
[tex]4/6+3/6(2/6*5/6+1/6*4/6))+2/6(2/6(2/6*5/6+4/6*17/18)+2/6(2/6*5/6+[/tex]
[tex]1/6*4/6+3/6(2/6*5/6+1/6*4/6+3/6))+2/6(2/6*17/18+2/6(2/6*5/6+1/6*[/tex]
[tex]4/6+3/6)+2/6(2/6*17/18+2/6(2/6*5*6+1/6*4/6+3/6)+2/6)))))[/tex][symbol:tilnaermet][tex]0,14[/tex]

Det finnes kanskje en enklere måte å regne på også, men det vesentlige er altså at P(2-3-6) skal være mindre enn P(2-3), mens jeg altså får det motsatte resultat. Håper noen tar seg tid til å gi seg i kast med litt sannsynlighetsregning.

PS: Innlegget er nå endret, slik at det forhåpentlig blir litt enklere å lese.

[193]

Ingen som har peiling? Man kan jo prøve seg litt på http://www-set.win.tue.nl/~wstomv/misc/yahtzee/ypt.php3 før man gir seg i kast med sannsynlighetene. (Skulle jeg ha postet dette i forum for videregående skole i stedet?)

[193]

Kanskje det ikke er så spennende å finne sannsynlighetene når man vet hva svaret burde være. Som et alternativ kan jeg presentere et annet problem: Hva er mest sannsynlig av å få minst tre seksere på tre kast, og å få stor straight (det samme som liten straight ELLER stor straight i vanlig norsk yatzy med fem terninger, altså 12345 eller 23456), når man spiller med fem terninger?

[193]

Kanskje det ikke er så spennende å finne sannsynlighetene når man vet hva svaret burde være. Som et alternativ kan jeg presentere et annet problem: Hva er mest sannsynlig av å få minst tre seksere på tre kast, og å få stor straight (det samme som liten straight ELLER stor straight i vanlig norsk yatzy med fem terninger, altså 12345 eller 23456), når man spiller med fem terninger?

[mrcreosote]

Hvis du holder 236, får jeg det til å bli 53/324 for å oppnå straight, så der er vi vel enige. Hvis du holder kun 23, kommer jeg til 89/486 for straight.

Hvis du lar x stå for 2 eller 3 og y for 1 eller 6, kan du liste opp de 20 mulige utfalla for de 3 terningene (eksempelvis 4xx som betyr en firer og 2 blant 2-ere og 3-ere) og deretter notere ned hva du trenger i siste kast for å komme i mål. Disse sannsynlighetene går ganske kjapt å regne ut og summere.

(Jeg har sett tråden flere ganger uten å ha svart, men det blir altså lest med interesse. Spill og sannsynligheter er rett og slett ganske artig sjøl om det kan bli mye elementær regning til tider.)