Jeg stilte egentlig dette som et oppfølgingsspørsmål i denne tråden. Men der var responsen heller laber, så jeg prøver meg igjen her da jeg fortsatt ikke har kommet noen vei med denne..
Spørsmålet er hvordan man forholder seg til vertikale asymptoter i bestemte integraler?
Problemet mitt i nevnte tråd er dette:
[tex]\left[\frac12x^2 - x + \ln|(x+1)|\right]_{-1}^1[/tex]
Jeg har googlet litt og eksperimentert litt med kalkulatoren men jeg er fortsatt grønn når det gjelder hvordan jeg skal forholde meg til dette. Jeg skjønner at jeg må bruke [tex]\lim_{x\to -1^+}[/tex] istedenfor -1 siden -1 gir ln 0. Men, hvordan skal man egentlig bestemme denne nedre grensen? Prøvd meg frem med å sette opp tabeller på kalkulatoren med verdier som nærmer seg -1, kalkulatoren ga seg ved x=-0,9999999 som ga -14,61 men det har ikke gått opp noen lys av det heller. Blir ikke dette nesten som med pi at man kan fortsette i det uendelige? Når skal man si stopp?
*forvirret*
Bestemte integraler og vertikale asymptoter
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Ingen, men ingen har sagt det motsatte heller før nå så jeg har ikke helt turt å trekke den konklusjonen på egen hånd. Men jeg merker fortsatt at jeg klør meg litt i hodet over hvordan dette henger sammen med arealet av den opprinnelige funksjonen [tex]\int^1_{-1}\frac{x^2}{x+1}[/tex]. Sukk, my brain hurts..
Om du tar en titt på grafen til den opprinnelige funksjonen kan du jo spørre deg selv om hva arealet fra -1 til 1 kan bli. Om integralet ditt går mot uendelig tyder dette kanskje på at arealet også er uendelig. Ser dette ut som det kan stemme? Hvorfor?
Jeg vil si det ser ut som arealet kan gå mot uendelig selv om det at [tex]\Delta x\to 0[/tex] når [tex]\Delta y \to \infty[/tex] også er noe jeg klør meg litt i hodet over. Men [tex]\Delta y \to \infty[/tex] raskere enn det [tex]\Delta x\to 0[/tex] så det er kanskje bare unødig hodebry.
Men hva med fortegn her, integralet går mot -uendelig mens arealet går mot uendelig. Hva er det jeg glemmer nå? Må visst inn med teskje det her...
Men hva med fortegn her, integralet går mot -uendelig mens arealet går mot uendelig. Hva er det jeg glemmer nå? Må visst inn med teskje det her...
Problemet ditt reduserer seg dog til å finne en grense:
Vi skriver
[tex]\lim_{y\to-1}\, \int_y^1\frac{x^2}{x+1}\, dx=-2+\ln(2)-\lim_{y\to -1}\ln(y+1)[/tex].
Her har vi f.eks. brukt at grensen til en sum er summen av grensene.
Det siste leddet er uendelig.
Vi skriver
[tex]\lim_{y\to-1}\, \int_y^1\frac{x^2}{x+1}\, dx=-2+\ln(2)-\lim_{y\to -1}\ln(y+1)[/tex].
Her har vi f.eks. brukt at grensen til en sum er summen av grensene.
Det siste leddet er uendelig.
Du kan lese mer om emnet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Improper_integral
