matematikk.net

Hei! Jeg har fått tak i en gammel R. Tambs Lyche-bok i matematisk analyse som jeg leser i. Jeg er dog ikke verdensmester i matte, så jeg kunne godt tenke meg litt hjelp med å forstå resonementet under. Det jeg lurer på er market med ??? blablabla ???. Hele eksempelet er lenger, men det tar så lang tid å skrive latex at jeg vil helst slippe med mindre noen gjerne vil se resten

La [tex]\mathbb{A}[/tex] være alle tall untatt 0, og [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex]. La [tex]a \not=0\in\mathbb{A}[/tex]. Velger vi [tex]|h| \lt\frac{|a|}{2}[/tex], er vi sikker på at [tex]a+h[/tex] tilhører [tex]\mathbb{A}[/tex]. Vi får da

[tex]f(a+h) = \frac{1}{a+h}[/tex]

En skjønner uten videre at [tex]f(a+h)[/tex] må nærme seg [tex]c=\frac{1}{a}[/tex] som grense når h går mot null. Men la oss for fullstendighetens skyld se om vi kan finne et [tex]\delta[/tex] som "parerer et gitt [tex]\epsilon[/tex]. Her blir

[tex]|\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}|=\frac{|h|}{|a|\cdot|a+h|}[/tex]

???og da vi har valt [tex]|h|\lt\frac{|a|}{2}[/tex] blir [tex]|\frac{1}{a+h}|\lt\frac{2}{|a|}[/tex], og derfor

[tex]|f(a+h)-\frac{1}{a}|\lt\frac{2|h|}{a^2}[/tex]???

Omvendt trekantulikhet gir

[tex]\frac{1}{|a+h|}-\frac{1}{|a|}\leq |\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}|=|\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}|=\frac{|h|}{|a|}\cdot\frac{1}{|a+h|}<\frac{1}{2|a+h|}[/tex]

så vi får etter at vi ganger med 2:

[tex]\frac{2}{|a+h|}-\frac{2}{|a|}<\frac{1}{|a+h|}[/tex]


Vi flytter over og får

[tex]\frac{1}{|a+h|}<\frac{2}{|a|}[/tex]

Regner med at det var dette steget du ikke hadde fått til?


PS:

For å komme frem til den omvendte trekantulikheten tar vi utgangspunkt i trekantulikheten:

[tex]|x+y|\leq|x|+|y|[/tex].

Vi setter x+y=z og eliminerer y:

[tex]|z|\leq |x|+|z-x|[/tex].

Etter at vi har flyttet over får vi

[tex]|z|-|x|\leq |z-x|[/tex].

Tusen takk! Jeg visste ikke hva trekantulikheten var før jeg slo opp, men nå burde det gå greit