Differensiallikningar med K og C

[Bondematte]

Hei,
Eg slit med ei oppgåve der eg må identifisere "k" og "C" Det er oppgåve 8.223 i cosinus, R2. Eg slit med oppgåva i b)

"Vi set ein gjenstand til avkjøling i eit rom der temperaturen er y0. Om y er temperaturen til gjenstanden etter t minutt, er løysninga av differensiallikninga

y' = -k(y-y0)"

a) Løys differensiallikninga
Det har eg gjort og får

y= y0 + Ce^(-kt)

Så byrjar problemet i oppgåve b)

"Vi set ein bolle med gelé med temperaturen 95 grader celcius til avkjøling ved romtemperaturen y0 = 20 grader c. Etter 3 timar er geléen stiv. Temperaturen i geléen er da 25 grader c. Finn y = f(t) i dette høvet"

Her har eg problem med å sjå føre meg formelen. Spesielt i høve til kva tal som skal verte k og kva tal som skal verte C, i formelen frå a): y= y0 + Ce^(-kt)

Er det nokon måte å forstå dette på? Det er fleire oppgåver som er berre tekninsk vanskelege, men eg klarar dei som regel. Desse oppgåvene der eg må "tenkje sjølv" er problematisk. Korleis "ser" eg logikken?

Mvh
Hans-Ragnar

Ps.: Svaret i b) skal verte f(t) = 20 + 75e^(-0,015t)

[Bondematte]

Eg jobba ein del meir med den og fekk til slutt eit svar som samsvara med det i boka. Spørsmålet står likevel:

Korleis ser eg kvifor og korleis?
Til dømes rekna eg ut k-verdien. Denne vart 0,015 og eg sette inn dette. I oppgåve a fann eg ut at likninga skulle vere: y= y0 + Ce^(-kt)

Her ser eg at k har ein minusverdi framføre seg (i formelen over), men dette tok eg ikkje omsyn til når eg fann k. Eg sette inn berre k i formelen når eg hadde funnet den som 0,015. Eg tok ikkje med minus. Korleis "ser" eg kvifor eg skal ha med denne? Eg ser at det står -kt i formelen, men eg tenkjer at eg har tatt omsyn til dette når eg finn ut av kva k er... Det skal eg da tilsynelatande ikkje gjere, og eg forstår det slik at minusen framføre k alltid står der (så lenge eg ikkje får eit negativt svar, da går - og - over til +...)

Etter at eg hadde funnet k så trudde eg oppgåva var løyst. det var den ikkje. C som eg trudde var 95 grader, skulle vere 75. Kvifor i all verden skulle denne verte 75?! Geléen er da 95 grader... trudde eg...
...hjelp...hjeeeeelp...!

Mvh
hans-ragnar

[Andreas345]

Er ikke så enkle disse oppgavene, hvis ikke man leser oppgaveteksten skikkelig.

b)

Vi setter en bolle med gelé med temperatur 95 grader celsius til avkjøling ved romtemperaturen [tex]y_0=25[/tex] grader celcius. Etter 3 timer er geleen stiv. Temperaturen i geleen er da 25 grader celsius.

Det første du gjør er å finne konstanten C, ut i fra informasjonen i teksten. Her sier de at: y(0)=95

Da får du

[tex]95=25+e^{-k\cdot 0}\cdot C[/tex]

Legg merke til at [tex]e^{-k\cdot 0}[/tex] vil bli [tex]e^0[/tex] for enhver vilkårlig konstant k. Og [tex]e^0=1[/tex] Så du står igjen med:

[tex]95=20+C \Rightarrow C=75[/tex]

For å finne k-en i utrykket tar du utgangspunkt i den andre delen av oppgave teksten som tilsier at: y(3)=25 og du får:

[tex]20+e^{-k\cdot 180}\cdot 75=25[/tex]

Da får du:

[tex]k=\frac {ln(5)-ln(75)}{180} \approx -0.015[/tex]

[tex]y(t)=20+75\cdot e^{-0.015t}[/tex]

Klarer du oppgave c nå?

[Bondematte]

Hmmm. Kjempebra. Takkar så mykje.