Skravert område mellom tangent og funskjon

[96xy]

Hei

Hadde R1 tentamen tidlegare i dag. Kom over denne oppgåva;
Funskjonen [tex] \ f(x) = sqrt{6x-x^2} [/tex] har ein tangent i punktet (1,f(1)).
Eg fann likninga for tangenten som
[tex] \ y = \frac{2}{sqrt{5}}x + \frac{3}{sqrt{5}} [/tex]

Etter dette kom ei oppgåve slik;
Mellom tangent, grafen f, y-aksen og linja x=3 er det to små område. Skraver område og finn summen av det eksakte arealet av dei to skraverte områda.
Hadde nokon gidda å vist denne oppgåva. Berre gitt eit svar, så hadde eg vorte kjempeglad

[Vektormannen]

[tex]y = f(x) = \sqrt{6x - x^2}[/tex] er en halvsirkel med radius 3 og sentrum i (3,0):

[tex]y^2 = 6x - x^2[/tex]

[tex]x^2 - 6x + y^2 = 0[/tex]

[tex]x^2 - 6x + 9 + y^2 = 9[/tex]

[tex](x - 3)^2 + y^2 = 3^2[/tex]

For å finne det skraverte arealet kan du tenke slik: Arealet mellom tangentlinja og sirkelen er arealet mellom tangentlinja og x-aksen fra x = 0 til x = 3, minus arealet av sirkelen fra x = 0 til x = 3.

Arealet av området under tangentlinja fra x = 0 til x = 3 er arealet av et trapes med høyde 3 og grunnlinjer [tex]a = \frac{3}{\sqrt{5}}[/tex] og [tex]b = f(3) = 4[/tex]: [tex]A_{linje} = \frac{(a+b)h}{2} = \frac{(\frac{3}{\sqrt 5} + 4) \cdot 3}{2} = \frac{9}{2\sqrt 5} + 6[/tex]

Arealet under sirkelgrafen fra x = 0 til x = 3 er arealet av en kvartsirkel. Du vet radius, så da er arealet enkelt og greit [tex]A_{sirkel} = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 3^2 = \frac{9}{4}\pi[/tex]

Trekker du arealet av sirkelfunksjonen fra arealet under linja så får du altså arealet av de skraverte feltene: [tex]A = A_{linje} - A_{sirkel} = \frac{9}{2\sqrt 5} + 6 - \frac{9}{4}\pi[/tex]. Her kan du sikkert pynte litt, men jeg tror dette skal stemme.

[96xy]

Hei

Takk for all hjelp så langt, men det er ein ting eg lurer på når det gjeld utrekninga di;

Eg forstår ikkje kvar du får f(3) = 4 frå. Kva meiner du her?
Areal av eit trapes er gitt ved;
A = ((a+b)h)/2. a = 3/rota av 5. b leddet derimot, er dette 4 ?

Skal ikkje dette vere;
[tex] \ \frac{2*3+3}{sqrt{5}} = \frac{9sqrt{5}}{5} [/tex]

Dette er flisespikkeri, fordi [tex] \ \frac{9sqrt{5}}{5} \app 4 [/tex] men det sto eksakt verdi .....

[Vektormannen]

Ja, selvfølgelig. Jeg vet ikke hvor jeg fikk f(x) fra. 4-tallet kommer sikkert av at jeg brukte geogebra til å kontrollsjekke arealet, og der så det ut som b var 4, så jeg antok det stemte. Beklager. Bare bruk verdien du fant i stedet for 4 du, altså [tex]\frac{9\sqrt 5}{5}[/tex].

[96xy]

Oki, då eg fekk oppklart det. Tusen takk for hjelpa