Inhomogen andre ordens diff.likning

[NerdeKoz]

Hei

Har en diff. likning som jeg trenger noe hjelp med. Likningen ser slik ut:
(skjønte ikke det latex greiene, men det går forhåpentligvis bra.)

(I): 2y'' + 5y' + 3y = 6xe^(-3x) (^= opphøyd i, men det skjønte dere sikkert)

Så langt har jeg kommet:

Løser likningen som en homogen difflikning, altså:

(H) 2y'' + 5y' + 3y = 0

Karakteristisk likning av denne gir:

(K) 2r^2 + 5r + 3 = 0

Som gir:

r1 = -1 og r2 = -(3/2)

yH = C1e^-x + C2e^-(3/2)x


Vet at y = yH + yP

Det er her problemet mitt ligger, hvordan finner jeg en partikulær løsning av den inhomogene diff. likningen?

I løsningsforslag foreslås det: Yp = Kx + L + Me^-3x som settes inn i (I). Men jeg forstår vel egentlig ikke helt hva man skal gjøre her.

[meCarnival]

Står det Ax + B + Ceˆx eller (Ax + B)Ceˆx?

Vesentlig for en annen oppgave jeg holder på med...


Du skal i din oppgave derivere [tex]y_p [/tex]så du får [tex]y_p^,[/tex] og [tex]y_p^{,,}[/tex] og sette inn for [tex]y^{,,}[/tex], [tex]y^,[/tex] og [tex]y[/tex]

[NerdeKoz]

Det står Ax + B + Ceˆx

Jeg går forresten på hist jeg også, oppgaven er på IM2 mai-06 settet.

Jeg forstår heller ikke helt hva du mener i forklaringen på hvordan jeg skal gjøre det her?

[meCarnival]

Hehe, eksamen på mandag da ...

Hva går du for noe da? Stone her inne går på Maskin...

Skal sjekke ut oppgaven og gi deg en forklaring

[meCarnival]

For det første så har du ikke skrevet oppgaven din riktig av som er rimelig viktig for å få ting riktig ... Din homogene løsning er riktig siden du setter høyre siden din skal settes som null, men den partikulære gis ved [tex]6x + e^{-3x}[/tex] og ikke [tex]6xe^{-3}[/tex]


Så som du har funnet har vi en [tex]y_h = C_1e^{-\frac{3}{2}x}+C_2e^{-x}[/tex]

Så nå skal vi anta/gjette enn partikulær løsning og her kan ikke leddene fra homogene løsningen inngå! Det er veldig viktig og hvis det skjer så må du multiplisere med x, evt x^2 (Sjekk formelheftet vi har for Matematikk 2)

Så er det å gjette. Du kan dele opp eller gjør prosessen i en og samme omgang, men siden du spørr så deler vi opp så du ser systemet kanskje bedre og det lettere å beregne hvis man er usikker/ny på differensiallikninger...

[tex]y_{p_1} = Ax + B[/tex]

[tex]y_{p_1}^, = A[/tex]

[tex]y_{p_1}^{,,} = 0[/tex]

Så settes disse inn i [tex]y[/tex]:

[tex]2(y_{p_1}^{,,})+5(y_{p_1}^,)+3(y_{p_1})=6x[/tex]

[tex]2(0)+5(A)+3(Ax+B)=6x[/tex]

[tex]5A+3Ax+3B=6x[/tex]

[tex]3Ax+5A+3B=6x[/tex]

Og nå må x-leddene være lik på begge sider og det git:

[tex]3A=6 \Rightarrow A =2[/tex]

Det er ikke noe rent konstantledd på høyresiden så da blir det å sette det lik null:

[tex]5A + 3B = 0 \Rightarrow 5 \cdot 2 + 3B = 0 \Rightarrow B = -\frac{10}{3}[/tex]


Og nå mangler vi bare C-leddet vårt utifra[tex] y_p = Ax+B+C[/tex] og da må vi sette y mot [tex]Ce^-3x[/tex]:


[tex]y_{p_2} = Ce^{-3x}[/tex]

[tex]y_{p_2}^, = -3Ce^{-3x}[/tex]

[tex]y_{p_2}^{,,} = 9Ce^{-3x}[/tex]

Setter inn som vi gjorde med [tex]y_{p_1}[/tex]:

[tex]2(y_{p_2}^{,,})+5(y_{p_2}^,)+3(y_{p_2})=e^{-3x}[/tex]

[tex]2(9Ce^{-3x})+5(-3Ce^{-3x})+3(Ce^{-3x})=e^{-3x}[/tex]

[tex]18Ce^{-3x}-15Ce^{-3x}+3Ce^{-3x}=e^{-3x}[/tex]

[tex]6Ce^{-3x}=e^{-3x}[/tex]

[tex]6C=1[/tex]

[tex]C=\frac{1}{6}[/tex]

Da har vi alle tre konstantene våres på plass...

[tex]A=2[/tex]
[tex]B=-\frac{10}{3}[/tex]
[tex]C=\frac{1}{6}[/tex]

Settes inn i [tex]y_p = y_{p_1} + y_{p_2} = Ax+B+Ce^{-3x} = 2x+(-\frac{10}{3})+\frac{1}{6}e^{-3x}[/tex]

Så endelig løsning:

[tex]y = y_h + y_p = C_1e^{-\frac{3}{2}x}+C_2e^{-x}+2x+(-\frac{10}{3})+\frac{1}{6}e^{-3x}[/tex]



Håper dette var forstårlig, hvis ikke skrik ut ....

[NerdeKoz]

Går maskin jeg også.. Eksamen på mandag ja, blir et slit. Takk for bra svar, tror jeg forstår det nå egentlig.. Mulig jeg kommer med et spørsmål til etterhvert, skal prøve meg på noen lignende oppgaver nå..

Vet du forresten om vi kan bruke formelsamlingen for IM1 på eksamen? Er vel kanskje ikke behov for det, eller?