Induksjon

[marensius]

Hallo,
Sitter og løser gamle eksamens oppgaver før eksamen.
Sliter en del med induksjonshypotesen, så er det jeg sitter
å jobber med foreløpig. Så har jeg viklet meg inn i en oppgave
som jeg håpet noen kunne hjelpe meg med å løse, kan
lett være jeg har store beregningsfeil, men håper noen
kan påpeke det.

Problemet ligger i oppgave c), men jeg skriver inn hele oppgaven så
kansskje det er lettere å finne feil.

Oppgaven: Definer funksjonen g: N -> N som g(n) = [symbol:sum][sup]n[/sup][sub]i=1[/sub](3i+i).

(a) Bergen h(1),h(2), og h(3) gjennom evaluering av uttrykket som definerer h.

(b) Vis at h(n) = (n+1)[sup]3[/sup] -n -1 for n = 1,2,3,4(dette er et eksempel på et tredjegrads uttrykk for h(n)).

(c) Bevis ved induksjon: h(n) = (n+1)[sup]3[/sup] -n-1 for alle positive heltall n.

Så langt jeg har kommet hittill:

(a)
h(1) = 3(1[sup]2[/sup]+1) = 6
h(2) = h(1) + 3(2[sup]2[/sup]+2) = 24
h(3) = h(2) + 3(3[sup]2[/sup]+3) = 60

(b)
h(1) = (1+1)[sup]3[/sup]-1-1 = 6
h(2) = (2+1)[sup]3[/sup]-2-1 = 24
h(3) = (3+1)[sup]3[/sup]-3-1 = 60

(c)
Vel jeg har regnet grunntallene 1,2,3 så
da antar jeg at k > 0
slk at f(k) = (k+1)[sup]3[/sup]-k-1

f(k+1) = [symbol:sum] [sup]k+1[/sup][sub]i=1[/sub] 3(i[sup]2[/sup]+i) = ((k+1)[sup]3[/sup]-k-1) = (((k+1)+1)[sup]3[/sup] - (k+1) -1 ) =
(k +2)[sup]3[/sup] - (k+1) -1 = k[sup]3[/sup] + 8 -k +1 -1 = k[sup]3[/sup]-k+8

f(k+1) = ( [symbol:sum] [sup]k[/sup][sub]i=1[/sub] 3(i[sup]2[/sup]+i)) + (3((k+1)[sup]2[/sup] + (k+1) = f(k) + 3k[sup]2[/sup] +k +2 = (k+1)[sup]3[/sup]-k-1 + 3k[sup]2[/sup] +k+2


Og her tror jeg allerede jeg har regnet mye feil, noen som
kan påpeke hvor og hva jeg har gjort galt?