Induksjon
Posted: 11/05-2009 11:47
Hallo,
Sitter og løser gamle eksamens oppgaver før eksamen.
Sliter en del med induksjonshypotesen, så er det jeg sitter
å jobber med foreløpig. Så har jeg viklet meg inn i en oppgave
som jeg håpet noen kunne hjelpe meg med å løse, kan
lett være jeg har store beregningsfeil, men håper noen
kan påpeke det.
Problemet ligger i oppgave c), men jeg skriver inn hele oppgaven så
kansskje det er lettere å finne feil.
Oppgaven: Definer funksjonen g: N -> N som g(n) = [symbol:sum][sup]n[/sup][sub]i=1[/sub](3i+i).
(a) Bergen h(1),h(2), og h(3) gjennom evaluering av uttrykket som definerer h.
(b) Vis at h(n) = (n+1)[sup]3[/sup] -n -1 for n = 1,2,3,4(dette er et eksempel på et tredjegrads uttrykk for h(n)).
(c) Bevis ved induksjon: h(n) = (n+1)[sup]3[/sup] -n-1 for alle positive heltall n.
Så langt jeg har kommet hittill:
(a)
h(1) = 3(1[sup]2[/sup]+1) = 6
h(2) = h(1) + 3(2[sup]2[/sup]+2) = 24
h(3) = h(2) + 3(3[sup]2[/sup]+3) = 60
(b)
h(1) = (1+1)[sup]3[/sup]-1-1 = 6
h(2) = (2+1)[sup]3[/sup]-2-1 = 24
h(3) = (3+1)[sup]3[/sup]-3-1 = 60
(c)
Vel jeg har regnet grunntallene 1,2,3 så
da antar jeg at k > 0
slk at f(k) = (k+1)[sup]3[/sup]-k-1
f(k+1) = [symbol:sum] [sup]k+1[/sup][sub]i=1[/sub] 3(i[sup]2[/sup]+i) = ((k+1)[sup]3[/sup]-k-1) = (((k+1)+1)[sup]3[/sup] - (k+1) -1 ) =
(k +2)[sup]3[/sup] - (k+1) -1 = k[sup]3[/sup] + 8 -k +1 -1 = k[sup]3[/sup]-k+8
f(k+1) = ( [symbol:sum] [sup]k[/sup][sub]i=1[/sub] 3(i[sup]2[/sup]+i)) + (3((k+1)[sup]2[/sup] + (k+1) = f(k) + 3k[sup]2[/sup] +k +2 = (k+1)[sup]3[/sup]-k-1 + 3k[sup]2[/sup] +k+2
Og her tror jeg allerede jeg har regnet mye feil, noen som
kan påpeke hvor og hva jeg har gjort galt?
Sitter og løser gamle eksamens oppgaver før eksamen.
Sliter en del med induksjonshypotesen, så er det jeg sitter
å jobber med foreløpig. Så har jeg viklet meg inn i en oppgave
som jeg håpet noen kunne hjelpe meg med å løse, kan
lett være jeg har store beregningsfeil, men håper noen
kan påpeke det.
Problemet ligger i oppgave c), men jeg skriver inn hele oppgaven så
kansskje det er lettere å finne feil.
Oppgaven: Definer funksjonen g: N -> N som g(n) = [symbol:sum][sup]n[/sup][sub]i=1[/sub](3i+i).
(a) Bergen h(1),h(2), og h(3) gjennom evaluering av uttrykket som definerer h.
(b) Vis at h(n) = (n+1)[sup]3[/sup] -n -1 for n = 1,2,3,4(dette er et eksempel på et tredjegrads uttrykk for h(n)).
(c) Bevis ved induksjon: h(n) = (n+1)[sup]3[/sup] -n-1 for alle positive heltall n.
Så langt jeg har kommet hittill:
(a)
h(1) = 3(1[sup]2[/sup]+1) = 6
h(2) = h(1) + 3(2[sup]2[/sup]+2) = 24
h(3) = h(2) + 3(3[sup]2[/sup]+3) = 60
(b)
h(1) = (1+1)[sup]3[/sup]-1-1 = 6
h(2) = (2+1)[sup]3[/sup]-2-1 = 24
h(3) = (3+1)[sup]3[/sup]-3-1 = 60
(c)
Vel jeg har regnet grunntallene 1,2,3 så
da antar jeg at k > 0
slk at f(k) = (k+1)[sup]3[/sup]-k-1
f(k+1) = [symbol:sum] [sup]k+1[/sup][sub]i=1[/sub] 3(i[sup]2[/sup]+i) = ((k+1)[sup]3[/sup]-k-1) = (((k+1)+1)[sup]3[/sup] - (k+1) -1 ) =
(k +2)[sup]3[/sup] - (k+1) -1 = k[sup]3[/sup] + 8 -k +1 -1 = k[sup]3[/sup]-k+8
f(k+1) = ( [symbol:sum] [sup]k[/sup][sub]i=1[/sub] 3(i[sup]2[/sup]+i)) + (3((k+1)[sup]2[/sup] + (k+1) = f(k) + 3k[sup]2[/sup] +k +2 = (k+1)[sup]3[/sup]-k-1 + 3k[sup]2[/sup] +k+2
Og her tror jeg allerede jeg har regnet mye feil, noen som
kan påpeke hvor og hva jeg har gjort galt?