egenverdier og egenvektorer

[gill]

Anta at hvert år skifter 30% av eiere av biler med tohjulstrekk til bil med firehjulstrekk,
mens 10% av eierene av bil med firehjulstrekk skifter til bil med tohjulstrekk. Det totale
antallet biler er konstant, og hver bileier har kun en bil. Dersom 25% av bileierene har
firehjulstrekk nå, hvor mange prosent av bileierene har firehjulstrekk om 10 år?

Dette er svaret:

La [tex]x_n[/tex] være andelen biler med tohjulstrekk og [tex]y_n[/tex] andelen biler med firehjulstrekk etter n år. Da er:

[tex]x_{n+1}=0,7x_n+0,1y_n[/tex]

[tex]y_{n+1}=0,3x_n+0,9y_n[/tex]

På matriseform:

[tex]X_{n+1}=BX_n=\frac{1}{10}AX_n[/tex]

der [tex]A=\left[\begin{matrix}7 & 1 \\3 & 9 \end{matrix}\right][/tex],

[tex]X_n=\left[\begin{matrix}x_n \\y_n \end{matrix}\right][/tex]

Dette gir [tex]X_n=B^nX_0[/tex], der
[tex]X_0=\left[\begin{matrix}0,75 \\0,25 \end{matrix}\right][/tex]. Vi har [tex]B=PDP^{-1}[/tex] og [tex]B^n=PD^nP^{-1} [/tex]

der [tex]P=\left[\begin{matrix}1 & 1 \\-1 & 3 \end{matrix}\right][/tex],

[tex]D=\left[\begin{matrix}0,6 & 0 \\0 & 1 \end{matrix}\right][/tex] Vi har da[tex]P^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{matrix}3 & -1 \\1 & 1 \end{matrix}\right][/tex]

[tex]X_n=PD^nP^{-1}X_0=\left[\begin{matrix}1 & 1 \\-1 & 3 \end{matrix}\right][/tex][tex] \left[\begin{matrix}(0,6)^n & 0 \\0 & 1 \end{matrix}\right][/tex][tex]\frac{1}{4}\left[\begin{matrix}3 & -1 \\1 & 1 \end{matrix}\right][/tex][tex]\left[\begin{matrix}0,75 \\0,25 \end{matrix}\right][/tex]=[tex]\frac{1}{16}\left[\begin{matrix}4+8(0,6)^n \\12-8(0,6)^n \end{matrix}\right][/tex]

Altså er

[tex]y_{10}=\frac{12-8(0,6)^{10}}{16}=0,747[/tex]

D.v.s 74,7% av bileierne har firehjulstrekk om 10 år


Hva er P og hva er D?

[Gustav]

D er diagonalmatrisa til B, dvs. at diagonalen består av egenverdiene til B.

P er en matrise hvis søylevektorer er egenvektorene til B.

På den måten er [tex]B=PDP^{-1} [/tex]og dermed [tex]B^n=PD^nP^{-1}[/tex]

[FredrikM]

[tex]x_{n+1}=0,7x_n+0,1y_n[/tex]

[tex]y_{n+1}=0,3x_n+0,9y_n[/tex]

På matriseform:

[tex]X_{n+1}=BX_n=\frac{1}{10}AX_n[/tex]

der [tex]A=\left[\begin{matrix}7 & 1 \\3 & 9 \end{matrix}\right][/tex],

[tex]X_n=\left[\begin{matrix}x_n \\y_n \end{matrix}\right][/tex]

Dette gir [tex]X_n=B^nX_0[/tex]

Vi har løst slike systemer litt annerledes, uten å blande inn diagonaliseringen.

La [tex]\lambda_1, \lambda_2[/tex] være egenverdiene til matrisen, og la [tex]v_1, v_2[/tex] være egenvektorene. Enhver vektor kan skrives som en lineærkombinasjon av forskjellige egenvektorer, og vi har derfor
[tex]X_0=av_1+bv_2[/tex]
for passelige konstanter a,b. Vi har også at [tex]A^nx=\lambda^nx[/tex].

[tex]X_n=B^nx_0=B^n(av_1+bv_2)=aB^nv_1+bB^nv_2=a\lambda^nv_1+b\lambda^nv_2[/tex]

Nå holder det å finne konstantene a og b (og selvfølgelig også egenvektorene og egenverdiene), så har du funnet løsningen på likningssystemet.

[gill]

D er diagonalmatrisa til B, dvs. at diagonalen består av egenverdiene til B.

P er en matrise hvis søylevektorer er egenvektorene til B.

På den måten er [tex]B=PDP^{-1} [/tex]og dermed [tex]B^n=PD^nP^{-1}[/tex]

Så vidt jeg ser er [tex]B=\left[\begin{matrix}0,7 & 0,1 \\0,3 & 0,9 \end{matrix}\right][/tex]

For å finne egenvektorene til B trakk jef fra lambda langs diagonalen [tex]B=\left[\begin{matrix}0,7-\lambda & 0,1 \\0,3 & 0,9-\lambda \end{matrix}\right][/tex]

Tar determinanten og får

[tex](0,7-\lambda)(0,9-\lambda)-(0,1\cdot0,3)[/tex]

som ble dette uttrykket

[tex]0,63-0,7\lambda-0,9\lambda+\lambda^2-0,03[/tex]

som jeg løste og fikk

[tex]\lambda_1=0,88[/tex] og [tex]\lambda_2=0,72[/tex]

Men dette er ikke egenverdiene B langs diagonalen av D?

[Gustav]

D er diagonalmatrisa til B, dvs. at diagonalen består av egenverdiene til B.

P er en matrise hvis søylevektorer er egenvektorene til B.

På den måten er [tex]B=PDP^{-1} [/tex]og dermed [tex]B^n=PD^nP^{-1}[/tex]

Så vidt jeg ser er [tex]B=\left[\begin{matrix}0,7 & 0,1 \\0,3 & 0,9 \end{matrix}\right][/tex]

For å finne egenvektorene til B trakk jef fra lambda langs diagonalen [tex]B=\left[\begin{matrix}0,7-\lambda & 0,1 \\0,3 & 0,9-\lambda \end{matrix}\right][/tex]

Tar determinanten og får

[tex](0,7-\lambda)(0,9-\lambda)-(0,1\cdot0,3)[/tex]

som ble dette uttrykket

[tex]0,63-0,7\lambda-0,9\lambda+\lambda^2-0,03[/tex]

som jeg løste og fikk

[tex]\lambda_1=0,88[/tex] og [tex]\lambda_2=0,72[/tex]

Men dette er ikke egenverdiene B langs diagonalen av D?

En kjapp utregning i Python(x,y) gir at 0.6 er en egenverdi. Jeg tror du har regnet litt feil på den 2.gradsligninga

[Audunss]

Siden differansen mellom tallene på diagonalen og de to andre tallene er den samme, 0.2 i dette tilfellet, kan du lett se at du kan finne 2 tall som gir deg de samme tallparene med positive og negative fortegn som da vil gjøre likningen lik 0, 0.6 og 1 i dette tilfellet. Vil spare deg litt utregning, og ser at det ofte er tilfelle at egenverdiene er slik.

[gill]

Har det noe å si hvis man tar [tex]\lambda_1=1[/tex] øverst til venstre i diagonaliseringdmatrisen D?

Har det noe å si hvis man tar egenvektoren [tex]v_1[/tex] som venstre søylevektor i P

Og har det noe å si om x=1 0g y=-1 eller x=-1 og y=1 for den saks skyld om x=5 og y=-5 i [tex]v_2[/tex] i P