matematikk.net

Anta at hvert år skifter 30% av eiere av biler med tohjulstrekk til bil med firehjulstrekk,
mens 10% av eierene av bil med firehjulstrekk skifter til bil med tohjulstrekk. Det totale
antallet biler er konstant, og hver bileier har kun en bil. Dersom 25% av bileierene har
firehjulstrekk nå, hvor mange prosent av bileierene har firehjulstrekk om 10 år?

Dette er svaret:

La [tex]x_n[/tex] være andelen biler med tohjulstrekk og [tex]y_n[/tex] andelen biler med firehjulstrekk etter n år. Da er:

[tex]x_{n+1}=0,7x_n+0,1y_n[/tex]

[tex]y_{n+1}=0,3x_n+0,9y_n[/tex]

På matriseform:

[tex]X_{n+1}=BX_n=\frac{1}{10}AX_n[/tex]

der [tex]A=\left[\begin{matrix}7 & 1 \\3 & 9 \end{matrix}\right][/tex],

[tex]X_n=\left[\begin{matrix}x_n \\y_n \end{matrix}\right][/tex]

Dette gir [tex]X_n=B^nX_0[/tex], der
[tex]X_0=\left[\begin{matrix}0,75 \\0,25 \end{matrix}\right][/tex]. Vi har [tex]B=PDP^{-1}[/tex] og [tex]B^n=PD^nP^{-1} [/tex]

der [tex]P=\left[\begin{matrix}1 & 1 \\-1 & 3 \end{matrix}\right][/tex],

[tex]D=\left[\begin{matrix}0,6 & 0 \\0 & 1 \end{matrix}\right][/tex] Vi har da[tex]P^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{matrix}3 & -1 \\1 & 1 \end{matrix}\right][/tex]

[tex]X_n=PD^nP^{-1}X_0=\left[\begin{matrix}1 & 1 \\-1 & 3 \end{matrix}\right][/tex][tex] \left[\begin{matrix}(0,6)^n & 0 \\0 & 1 \end{matrix}\right][/tex][tex]\frac{1}{4}\left[\begin{matrix}3 & -1 \\1 & 1 \end{matrix}\right][/tex][tex]\left[\begin{matrix}0,75 \\0,25 \end{matrix}\right][/tex]=[tex]\frac{1}{16}\left[\begin{matrix}4+8(0,6)^n \\12-8(0,6)^n \end{matrix}\right][/tex]

Altså er

[tex]y_{10}=\frac{12-8(0,6)^{10}}{16}=0,747[/tex]

D.v.s 74,7% av bileierne har firehjulstrekk om 10 år


Hva er P og hva er D?

D er diagonalmatrisa til B, dvs. at diagonalen består av egenverdiene til B.

P er en matrise hvis søylevektorer er egenvektorene til B.

På den måten er [tex]B=PDP^{-1} [/tex]og dermed [tex]B^n=PD^nP^{-1}[/tex]

gill wrote:[tex]x_{n+1}=0,7x_n+0,1y_n[/tex]

[tex]y_{n+1}=0,3x_n+0,9y_n[/tex]

På matriseform:

[tex]X_{n+1}=BX_n=\frac{1}{10}AX_n[/tex]

der [tex]A=\left[\begin{matrix}7 & 1 \\3 & 9 \end{matrix}\right][/tex],

[tex]X_n=\left[\begin{matrix}x_n \\y_n \end{matrix}\right][/tex]

Dette gir [tex]X_n=B^nX_0[/tex]

Vi har løst slike systemer litt annerledes, uten å blande inn diagonaliseringen.

La [tex]\lambda_1, \lambda_2[/tex] være egenverdiene til matrisen, og la [tex]v_1, v_2[/tex] være egenvektorene. Enhver vektor kan skrives som en lineærkombinasjon av forskjellige egenvektorer, og vi har derfor
[tex]X_0=av_1+bv_2[/tex]
for passelige konstanter a,b. Vi har også at [tex]A^nx=\lambda^nx[/tex].

[tex]X_n=B^nx_0=B^n(av_1+bv_2)=aB^nv_1+bB^nv_2=a\lambda^nv_1+b\lambda^nv_2[/tex]

Nå holder det å finne konstantene a og b (og selvfølgelig også egenvektorene og egenverdiene), så har du funnet løsningen på likningssystemet.

plutarco wrote:D er diagonalmatrisa til B, dvs. at diagonalen består av egenverdiene til B.

P er en matrise hvis søylevektorer er egenvektorene til B.

På den måten er [tex]B=PDP^{-1} [/tex]og dermed [tex]B^n=PD^nP^{-1}[/tex]

Så vidt jeg ser er [tex]B=\left[\begin{matrix}0,7 & 0,1 \\0,3 & 0,9 \end{matrix}\right][/tex]

For å finne egenvektorene til B trakk jef fra lambda langs diagonalen [tex]B=\left[\begin{matrix}0,7-\lambda & 0,1 \\0,3 & 0,9-\lambda \end{matrix}\right][/tex]

Tar determinanten og får

[tex](0,7-\lambda)(0,9-\lambda)-(0,1\cdot0,3)[/tex]

som ble dette uttrykket

[tex]0,63-0,7\lambda-0,9\lambda+\lambda^2-0,03[/tex]

som jeg løste og fikk

[tex]\lambda_1=0,88[/tex] og [tex]\lambda_2=0,72[/tex]

Men dette er ikke egenverdiene B langs diagonalen av D?

gill wrote:

plutarco wrote:D er diagonalmatrisa til B, dvs. at diagonalen består av egenverdiene til B.

P er en matrise hvis søylevektorer er egenvektorene til B.

På den måten er [tex]B=PDP^{-1} [/tex]og dermed [tex]B^n=PD^nP^{-1}[/tex]

Så vidt jeg ser er [tex]B=\left[\begin{matrix}0,7 & 0,1 \\0,3 & 0,9 \end{matrix}\right][/tex]

For å finne egenvektorene til B trakk jef fra lambda langs diagonalen [tex]B=\left[\begin{matrix}0,7-\lambda & 0,1 \\0,3 & 0,9-\lambda \end{matrix}\right][/tex]

Tar determinanten og får

[tex](0,7-\lambda)(0,9-\lambda)-(0,1\cdot0,3)[/tex]

som ble dette uttrykket

[tex]0,63-0,7\lambda-0,9\lambda+\lambda^2-0,03[/tex]

som jeg løste og fikk

[tex]\lambda_1=0,88[/tex] og [tex]\lambda_2=0,72[/tex]

Men dette er ikke egenverdiene B langs diagonalen av D?

En kjapp utregning i Python(x,y) gir at 0.6 er en egenverdi. Jeg tror du har regnet litt feil på den 2.gradsligninga

Siden differansen mellom tallene på diagonalen og de to andre tallene er den samme, 0.2 i dette tilfellet, kan du lett se at du kan finne 2 tall som gir deg de samme tallparene med positive og negative fortegn som da vil gjøre likningen lik 0, 0.6 og 1 i dette tilfellet. Vil spare deg litt utregning, og ser at det ofte er tilfelle at egenverdiene er slik.

Har det noe å si hvis man tar [tex]\lambda_1=1[/tex] øverst til venstre i diagonaliseringdmatrisen D?

Har det noe å si hvis man tar egenvektoren [tex]v_1[/tex] som venstre søylevektor i P

Og har det noe å si om x=1 0g y=-1 eller x=-1 og y=1 for den saks skyld om x=5 og y=-5 i [tex]v_2[/tex] i P