Lineære kongruenser og inkongruente løsninger

[Kukaka]

Skjønner ikke helt det med inkongruente løsninger..

Starter med kongruensen:

$15x\equiv 12(\text{mod }57)$

Anvender regnereglene, og ender opp med $x\equiv 16(\text{mod }19)$, altså er $x=16+19k$.

Men så kommer det som forvirrer meg:

Jeg vet fra tidligere i oppgaven (det har jeg faktisk skjønt : D) at kongruensen har 3 inkungurente løsninger.

Derfor velges det tre $k$-verdier som settes inn i ligningen over. Mitt første spørsmål da er: Dersom en kongruens har $n$ inkongruente løsninger, vil jeg da alltid kunne sette inn tallene $0+1+2+...+(n-1)$ og få riktige svar?

Vi fortsetter: Nå settes 0,1 og 2 inn i $k$ i ligningen og den gir tre forskjellige, inkongruente løsninger: 16, 35 og 54.

Altså er $x\equiv 16$, $x\equiv 35$ eller $x\equiv 54(\text{mod }57)$

Mitt spørsmål #2 er da: Hva skjedde mellom $x=16+19k$. og $x\equiv 16$, $x\equiv 35$ eller $x\equiv 54(\text{mod }57)$, og hvorfor/hvordan ble det plutselig modulo 57 igjen?

[Gustav]

Oppgaven er jo å finne alle løsningene x på problemet 15x=12 mod(57), altså jobber vi modulo 57.

Så hva er problemet egentlig...

[Kukaka]

Så hvis jeg på en eksamen møter opp og gjør om $x\equiv 16(\text{mod }19)$ til $x\equiv 16(\text{mod }57)$ trenger jeg ikke gi noen annen begrunnelse enn at det var $\text{mod }57$ jeg startet med? ;oo Synes ikke det virker helt logisk, selv om boken delvis ga samme inntrykk ;\

Problemet er rett og slett at jeg ikke forstår hvorfor jeg gjør det jeg gjør : ) Skjønner liksom ikke hvordan en kongurens mudulo noe plutselig kan bli til den samme kongurensen, modulo noe annet!

[Gustav]

Unionen av de tre løsningene dine, altså unionen av x=16 mod(57), x=35 mod(57) og x=54 mod(57) tilsvarer, som delmengde av $\mathbb{Z}$, det samme som x=16 mod(19).

Mulig det er dette som forvirrer?

(Husk at x=16 mod(19) er alle tall på formen 16+19k, k heltall.
På samme måte er x=16 mod(57) alle tall på formen 16+57k, og videre er 35 mod(57) alle tall på formen 35+57k. osv. )

[Kukaka]

Det var det jeg lurte på, ja! : ) Takk! : D