Sannsynlighetsregning - problem

[krje1980]

Etter et par uker i Calculus-land hvor jeg trives godt er jeg nå tilbake i det mer utrygge farvannet sannsynlighetsregning. Jeg har et problem som jeg gjerne ville hatt noen tips på. Problemet lyder:

En pose inneholder 144 ping-pong baller. Over halvparten av ballene er orange og resten er blå. To baller trekkes ut av posen. Sannsynligheten for å trekke to baller av samme farge er den samme som sannsynligheten for å trekke to baller med forskjellig farge. Hvor mange orange baller er i posen?

Løsning:

Jeg klarer å løse dette gjennom å prøve og feile. Jeg setter opp en slags hypergeometrisk ligning med ((N1 nCr 2)(144 - N1 nCr 0)) / (144 nCr 2) + ((N1 nCr 0)(144 - N1 nCr 2)) / (144 nCr 2) = ((N1 nCr 1)(144 - N1 nCr 1)) / (144 nCr 2).

Altså - jeg plusser sammen sannsynlighetene for å trekke to baller av samme farge og setter den lik sannsynligheten for å trekke to baller av ulik farge.

Gjennom å prøve og feile finner jeg at antall orange baller er 78.

Jeg lurer derfor på om det er mulig å løse dette uten å måtte prøve og feile?

[Gustav]

Litt usikker på hva du har skrevet. Her er min måte å løse dette på.

La det være n oransje med n>72.

Sannsynligheten for å trekke ut to like er dermed:

[tex]\frac{n}{144}*\frac{n-1}{143}+\frac{144-n}{144}*\frac{143-n}{143}[/tex]

Sannysnligheten for å trekke ut to ulike er:

[tex]\frac{n}{144}*\frac{144-n}{143}+\frac{144-n}{144}*\frac{n}{143}[/tex] Setter vi disse lik hverandre blir

[tex]n(n-1)+(144-n)(143-n)=2n(144-n)[/tex]

Dette er bare en 2.gradsligning, så den løses lett.

[tex]n^2-n+143*144-287n+n^2=288n-2n^2[/tex]

[tex]n^2-144n+36*143=(n-78)(n-66)=0[/tex]

Siden n>72 er den unike løsningen n=78

[krje1980]

Tusen takk! Dette var egentlig mye enklere og klart mer logisk enn hva jeg har gjort!