To linjestykker kalles kommensurable dersom det finnes et tredje linjestykkesom går opp et helt antall ganger i begge to. Hvis ikke kalles de inkommensurable.
a) Vis at to linjestykker med lengde s og t er kommensurable hvis og bare hvis det finnes et rasjonalt tall r slik at s=rt.
SVAR: Da antok jeg at s=2 og t=2, da måtte r være det rasjonale tallet 5/2.
b) Anta at vi kan vise at siden og diagonalen i et kvadrat er inkommensurable. Forklar hvorfor vi da har bevist at [tex] \: \ sqrt{2} .[/tex] er irrasjonal.
SVAR: Jeg antok at det var fordi hvis vi lar de to like sidene få lengden [tex] \: \ sqrt{2} \:[/tex] , vil diagonalen ha lengden 2 ifølge pytagoras setningen.Og dermed er det sagt at siden og diagonalen er inkommensurable fordi den tredje siden som er diagonalen ikke vil gå opp i de to like sidene.
Resten av denne oppgaven skal vi bruke til å vise at siden og diagonalen i et kvadrat faktisk er inkommensurable. Vi antar for motsigelse at L er et linjestykke som går opp i både siden og diagonalen. Vi tegner opp kvadratet som vist på figuren, og setter av punktet E slik at AE er lik siden i kvadratet.
c) Vis at L går opp i EC.
SVAR: Her antok jeg at AC=L, dermed AC=AE*EC.
d) Vis at linjestykkene EF, EC og FB er like lange.
?
la ut skikkelig nå.