Småvrient integral

[Betelgeuse]

Har et ubestemt integral her jeg synes var litt kranglete:

[tex]\int \frac{x^2arctan(x)}{1+x^2}dx[/tex]

Jeg ser at vi har den deriverte til arctan som en faktor i utrykket.. ooog eventuelt den deriverte til ln(1+ x^2). Prøver meg på delvis integrasjon men ser ikke ut til å ende opp med noe lettere integral uansett hva jeg velger for som u og v'.

[Andreas345]

[tex]\int \frac{x^2atan(x)}{1+x^2}dx[/tex]

Mener dette burde føre fram, setter [tex]u=atan(x)[/tex]

[tex]du=\frac {1}{1+x^2}dx[/tex]

Følgelig er

[tex]\int x^2\cdot u \ du [/tex]

Legg merke til at hvis vi setter [tex]u=atan(x)[/tex] så er [tex]x=tan(u)[/tex]

og du står igjen med

[tex]\int tan^2(u)\cdot u \ du[/tex]

Er litt usikker, men sjekker nå om det stemmer

[Janhaa]

ser ut som om, bl. a., delvis integrasjon av siste integranden fører fram.

[Betelgeuse]

Allright, jeg er med, men jeg ser ikke hvordan jeg skal beregne dette siste integralet. Noen hint om hvordan dette kan gjøres?

[Charlatan]

Som janhaa sier er nok delvis veien å gå.

[Betelgeuse]

Pheeew.. ja, jeg klarte den til slutt! Bra at dere ikke bare gir ut svaret til utolmodige amatører

[Andreas345]

Nice Hva mattekurs tar du forresten?

[Betelgeuse]

Indeed

Jeg tar MAT1100 og MAT-INF1100 ved UIO.. dvs de første mattekursene i diverse bachelorgrader her.

Er MAT111 det tilsvarende kurset ved UIB?

[Andreas345]

Jepp, det er det

[Betelgeuse]

Allright! Hyggelig å hilse på! Vi har akkurat kommet til integrasjonsteknikk her ser du

[meCarnival]

Kan noen vise det siste delvise integralet? Jeg får det ikke helt til å gå opp, uten veien om "sec"...


Jeg står ved [tex]\int u \cdot tan^2u \,\,du[/tex]...

[Janhaa]

Kan noen vise det siste delvise integralet? Jeg får det ikke helt til å gå opp, uten veien om "sec"...
Jeg står ved [tex]I=\int u \cdot tan^2u \,\,du[/tex]...

mener du dette?
[tex]I=\int u \cdot\tan^2(u) \,du=(\tan(u)-u)u\,-\,\int(\tan(u)-u)\,du[/tex]

[tex]I=u\tan(u)\,-\,\,u^2\,+\,\ln|\cos(u)|\,+\,{1\over 2}u^2\,+\,C[/tex]

[tex]I=u\tan(u)\,+\,\ln|\cos(u)|\,-\,{1\over 2}u^2\,+\,C[/tex]

der
[tex]u=\arctan(x)[/tex]

[FredrikM]

Ved [tex]\int u \cdot v^\prime = u v - \int u^\prime v[/tex]

setter du [tex]u=u[/tex] og [tex]v=\tan^2u[/tex]

[tex]\int \tan ^2 x dx = \tan x - x+C[/tex]