Konvergens av uegentlig integral.

[Betelgeuse]

For hvilke p konvergerer [tex]\int_{1}^{\infty}\frac{lnx}{x^p}dx[/tex]?

Grensesammenlingningskritieriet sier at gitt f og g er to positive funksjoner på [tex][a, \infty)[/tex]. Hvis man har at [tex]{\small \int_a^{\infty}f(x)dx}[/tex] konvergerer og [tex]\small{\lim_{x\to\infty}g(x)/f(x) < \infty[/tex], så kan man slå fast at [tex]{\small \int_a^{\infty}g(x)dx}[/tex] også konvergerer.

Jeg vet at [tex]\small{\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx}[/tex] konvergerer.. så jeg beregner grensen

[tex]\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{lnx}{x^p}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x^{p-2}}[/tex]

1: Dette er et [tex]\infty/\infty[/tex] utrykk så lenge p > 2. Da har vi

[tex]\eq^{\small{LH}}\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{(p-2)x^{p-3}} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(p-2)}\frac{1}{x^{p-2}[/tex]

Som burde gi at
[tex]p > 2 \Rightarrow p-2 > 0 \Rightarrow \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{p-2}} = 0 < \infty[/tex]

2: [tex] p \leq 2 \Rightarrow p-2\leq1 \Rightarrow \lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x^{p-2}} = \lim_{x\to\infty}x^{2-p}lnx = \infty[/tex]

Kan jeg ikke da konkludere med at [tex]{\int_{1}^{\infty}\frac{lnx}{x^p}dx}[/tex] konverdier for p >2?

Fasiten sier p > 1. Noen som kan gi en forklaring på dette?

[Gustav]

konvergens for[tex] \int \frac{1}{x^q} \,dx [/tex] dersom q>1.

Derfor blir det riktig hvis du erstatter "2" med q>1 i ditt resonnement

[Betelgeuse]

Ah, det er sant. Jeg ser at det kommer til å bli 1 da, men hvor ligger problemet i ressonementet? Jeg gjorde jo redet for alle verdier av P.

[Gustav]

Problemet ligger ikke i at du ikke har sjekket for alle p-verdier, men i forhold til hvilken følge du sammenligner med, såvidt jeg kan se.

I forhold til at du har sammenlignet med 1/x^2 har du vel funnet de riktige p.-verdiene, men hvis du sammenligner med [tex]1/x^{1+\epsilon}[/tex] for en \epsilon>0, vil du få med alt i forhold til fasiten.