Laplace invers

[amcneill]

Hei,

Jeg sliter med en oppgave, eller rettere sagt deler av en oppgave der jeg har fått oppgitt den transformerte funksjonen og skal finne den opprinnelige funksjonen. Den delen jeg er usikker på hvordan jeg skal løse ser slik ut:

s/(s+1)

jeg har tenkt at man kan si at dette er det samme som (1/(s+1))s, men det hjelper lite for s alene vet jeg ikke hvordan jeg skal invertere. Det jeg har tenkt på er å dele på s over og under brøkstreken slik at det blir 1, men det virker ikke helt riktig for da blir det δ(t).

[meCarnival]

Hva er din opprinnelige oppgave?

[amcneill]

Laplacetransformen ser opprinnelig slik ut:

[tex]\frac {s^2+s+2}{(s+1)(s^2+9)} e^{-4s}[/tex]

Dette for jeg til til å virke letter i de fleste ledd når jeg organiserer det slik:

[tex](\frac {s}{s^2+3^2}) (\frac {s+1+\frac {2}{s}}{s+1}) e^{-4s}[/tex]

[amcneill]

Så deler jeg opp funksjonen og ganger brøken [tex] \frac { \frac {2}{s}}{s+1} [/tex] med s over og under for å bli kvitt den øvre delbrøken og ender opp med
[tex](\frac {s}{s^2+3^2}) (\frac {s}{s+1} + \frac {1}{s+1}+ \frac {2}{s(s+1)}) e^{-4s}[/tex]

[amcneill]

Dette blir litt oppstykket for jeg er ikke vant til å skrive i BBCode og jeg tenker samtidig som jeg skriver så jeg vil gjerne være relativ sikker på hva jeg gjør.

Det jeg tenker nå er å ta dette stykke for stykke og invertere, det jeg har fått så langt er
(f(t-4)u(t-4)cos(3(t-4)))( [tex]L^{-1} (\frac {s}{s+1} + \frac {1}{s+1} + \frac {2}{s} - \frac {2}{s+1})[/tex])

[meCarnival]

Har du prøvd med delbrøkoppspalting?

[amcneill]

Kun på [tex]\frac {2}{s(s+1)}[/tex] for å få [tex] \frac {2}{s} + \frac {-2}{s+1}[/tex]. Hvis du mener at jeg burde delbrøksoppspalte [tex] \frac {s}{s+1}[/tex] er jeg usikker på hva du tenker på. Dersom du mener at hele den transformerte funksjonen burde delbrøksoppspaltes, så vil jeg legge ved at jeg er ingen reser i delbrøksoppspalting og prøver å minimisere utfordringerer det kan gi før jeg prøver. Moa jeg prøver å få så små brøker som mulig først.

[meCarnival]

[tex]\frac%20{s^2+s+2}{(s+1)(s^2+9)}%20e^{-4s}[/tex]

Ser bort fra [tex]e^{-4s}[/tex] når vi finner ut hvem F(s) vi skal bruke...


[tex]\frac%20{s^2+s+2}{(s+1)(s^2+9)}=\frac%20{A}{(s+1)}+\frac{Bs+C}{(s^2+9)}[/tex]

[tex]s^2+s+2=A(s^2+9)+(Bs+C)(s+1)[/tex]

[tex]s^2+s+2=As^2+9A+Bs^2+Bs+Cs+C[/tex]

[tex]s^2+s+2=(A+B)s^2+(B+C)s+(9A+C)[/tex]

[tex]A+B = 1 \Rightarrow A = 1 - B[/tex]

[tex]B+C = 1 \Rightarrow C = 1 - B[/tex]

[tex]9A+C = 2 \Rightarrow 9(1-B)+(1-B)=2 \Rightarrow 9-9B+1-B=2 \Rightarrow B=\frac{4}{5}[/tex]

[tex]A+B = 1 \Rightarrow A = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}[/tex]

[tex]B+C = 1 \Rightarrow C = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}[/tex]


[tex]A = C = \frac{1}{5} \,\,\, B = \frac{4}{5}[/tex]


[tex]\frac%20{s^2+s+2}{(s+1)(s^2+9)}=\frac%20{\frac{1}{5}}{(s+1)}+\frac{\frac{4}{5}s+\frac{1}{5}}{(s^2+9)}=\frac%20{\frac{1}{5}}{s-(-1)}+\frac{\frac{4}{5}s}{s^2+3^2}+\frac{\frac{1}{5}}{s^2+3^2}[/tex]

Da har du et nytt utgangspunkt som nok er en dose lettere å løse...
- Du må nok manipulere litt her og der, men si ifra på nytt hvis du står fast!

Håper dette var til hjelp da og spørr hvis det er noe du lurer på...

[amcneill]

Takk, dette var helt topp!

Tror nok at jeg skal greie resten nå.