Har slit litt med at få omformet disse likninger, men hjelpen jeg fikk av Sirins i mit forrige spørgsmål fikk meg kanskje til at skjønne hvordan, er der en der har mulighet for at sjekke om jeg tenker korrekt nu?
edit: så jeg hadde et par regnefeil jeg har rettet!
OPPGAVE: Hvilke av disse diffenseriallikninger er separable?
Boka skriver: En seperabel dif. likning må kunne skrives på [tex]h(y) \cdot y^\prime = g(x)[/tex]
a) [tex]y^\prime =y[/tex]
[tex]y^\prime\frac{1}{y}=1[/tex]
så den må være OK
b)[tex] y^\prime =y+5[/tex]
kan den skrives:
[tex]y^\prime\cdot\frac{1}{y+5} = 1[/tex]
og derfor også OK
c)[tex]y^\prime = y+5x[/tex]
her går det ikke ann at trikse !! så nei!
d) [tex]y^\prime =3y+y^2[/tex]
[tex]\frac{y^\prime}{y} =3+y[/tex]
kan den så skrive som:
[tex] \frac{(3+y)}{y} \cdot y^\prime=1[/tex]
og så er OK
e) [tex]y^\prime (x+9) = x(y-3)[/tex]
[tex]\frac{y^\prime}{y-3} =\frac{x}{x+9}[/tex]
så den er også OK
separable differensiallikninger
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
sliter litt med at få løst denne diff. likning:
[tex]y^\prime = 3y + y^2[/tex]
omformer den til
[tex]\frac{y^\prime}{3y + y^2} =1[/tex]
[tex]\frac{1}{3y + y^2}\frac{dy}{dx} = 1[/tex]
[tex]\int\frac{1}{3y+y^2}dy = \int 1 dx[/tex]
sliter litt med at få tatt hull på venstre siden er der noen der kan hjelpe meg med den?
er dette korrekt løst? føler jeg kanskje tolker reglerne litt fritt!
[tex]\frac{1}{3} ln /3y/ -y^{-1} +C_1 = x + C_2[/tex]
[tex]\frac{1}{3} ln/3y/ - \frac{1}{y} = x-C[/tex]
og hvis dette er korrekt sofar - hvordan kommer jeg så videre herfra?
Håper der er et smart hoved der kan hjelpe meg!
[tex]y^\prime = 3y + y^2[/tex]
omformer den til
[tex]\frac{y^\prime}{3y + y^2} =1[/tex]
[tex]\frac{1}{3y + y^2}\frac{dy}{dx} = 1[/tex]
[tex]\int\frac{1}{3y+y^2}dy = \int 1 dx[/tex]
sliter litt med at få tatt hull på venstre siden er der noen der kan hjelpe meg med den?
er dette korrekt løst? føler jeg kanskje tolker reglerne litt fritt!
[tex]\frac{1}{3} ln /3y/ -y^{-1} +C_1 = x + C_2[/tex]
[tex]\frac{1}{3} ln/3y/ - \frac{1}{y} = x-C[/tex]
og hvis dette er korrekt sofar - hvordan kommer jeg så videre herfra?
Håper der er et smart hoved der kan hjelpe meg!
ok maser fortsatt litt med denne difflikning!
starter med
[tex]y^\prime =3y+ y^2[/tex]
[tex]\frac{y^\prime}{y+y^2}=1[/tex]
[tex]\frac{y^\prime}{y(3+y)} =1[/tex]
[tex]\frac{1}{y(3+y)}\frac{dy}{dx}=1[/tex]
[tex]\int\frac{1}{y(3+y)} dy= \int 1dx[/tex]
[tex]\frac{1}{3(y+3)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{3+y}[/tex]
[tex]1= A(3+y) + B(y)[/tex]
Finner A (setter y=0)
[tex]1= 3A[/tex]
[tex]A=\frac{1}{3}[/tex]
Finner B (setter y=-3)
[tex]1= -3B[/tex]
[tex]B=-\frac{1}{3}[/tex]
så
[tex]\int\frac{1}{y(3+y)}dy =\int\frac{1}{3y} dy-\int\frac{1}{3(3+y)} dy[/tex]
så setter inn i opprindelige difflikning
[tex]\int\frac{1}{3y} dy -\int\frac{1}{9+3y}dy = \int 1 dx[/tex]
[tex]\frac{1}3 ln/y/ -\frac{1}{3} ln/3y+9/ + C_1 = x + C_2[/tex]
[tex]ln/y/ -ln/3y+9/ =3x +C[/tex]
[tex]ln\frac{y}{3y+9}= 3x+C[/tex]
[tex]\frac{y}{3y+9} =Ce^{3x}[/tex]
Er dette korrekt løst- og hvis det er - er der så en der kan fortelle meg hvordan jeg får issolert Y takk MEPE
starter med
[tex]y^\prime =3y+ y^2[/tex]
[tex]\frac{y^\prime}{y+y^2}=1[/tex]
[tex]\frac{y^\prime}{y(3+y)} =1[/tex]
[tex]\frac{1}{y(3+y)}\frac{dy}{dx}=1[/tex]
[tex]\int\frac{1}{y(3+y)} dy= \int 1dx[/tex]
[tex]\frac{1}{3(y+3)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{3+y}[/tex]
[tex]1= A(3+y) + B(y)[/tex]
Finner A (setter y=0)
[tex]1= 3A[/tex]
[tex]A=\frac{1}{3}[/tex]
Finner B (setter y=-3)
[tex]1= -3B[/tex]
[tex]B=-\frac{1}{3}[/tex]
så
[tex]\int\frac{1}{y(3+y)}dy =\int\frac{1}{3y} dy-\int\frac{1}{3(3+y)} dy[/tex]
så setter inn i opprindelige difflikning
[tex]\int\frac{1}{3y} dy -\int\frac{1}{9+3y}dy = \int 1 dx[/tex]
[tex]\frac{1}3 ln/y/ -\frac{1}{3} ln/3y+9/ + C_1 = x + C_2[/tex]
[tex]ln/y/ -ln/3y+9/ =3x +C[/tex]
[tex]ln\frac{y}{3y+9}= 3x+C[/tex]
[tex]\frac{y}{3y+9} =Ce^{3x}[/tex]
Er dette korrekt løst- og hvis det er - er der så en der kan fortelle meg hvordan jeg får issolert Y takk MEPE
Tror du har en feil her [tex]\frac{1}3 ln/y/ -\frac{1}{3} ln/3y+9/ + C_1 = x + C_2[/tex]
Skal vel være [tex]\frac13 ln|y|-\frac13 ln|y+3|+C_1=x+C_2[/tex]
Så du får [tex]\frac{y}{y+3}=Ce^{3x}[/tex]
[tex]y=yCe^{3x}+3Ce^{3x}[/tex]
[tex]y-yCe^{3x}=De^{3x}[/tex]
[tex]y(1-Ce^{3x})=De^{3x}[/tex]
[tex]y=\frac{De^{3x}}{1-Ce^{3x}}[/tex]
Med forbehold
Skal vel være [tex]\frac13 ln|y|-\frac13 ln|y+3|+C_1=x+C_2[/tex]
Så du får [tex]\frac{y}{y+3}=Ce^{3x}[/tex]
[tex]y=yCe^{3x}+3Ce^{3x}[/tex]
[tex]y-yCe^{3x}=De^{3x}[/tex]
[tex]y(1-Ce^{3x})=De^{3x}[/tex]
[tex]y=\frac{De^{3x}}{1-Ce^{3x}}[/tex]
Med forbehold