matematikk.net

Har et integral jeg sliter med.

[tex]\int{ \frac{2x^2+3}{(x^2+1)^2}{dx}[/tex]

Har brukt delbrøkoppspalting og funnet dette:

[tex]\int{\frac{2}{x^2+1}}{dx}+\int{\frac{1}{(x^2+1)^2}}{dx}[/tex]


Første integral blir vel [tex]2arctanx[/tex], men det andre har jeg ingen idèer om hvordan jeg skal løse det. Regner med det er en kjent substitusjon eller noe som kan brukes. Har prøvd å se om det er noen trigonometriske substitusjoner som kan brukes, men kommer ikke på noe som passer. Har også prøvd delvis integrasjon.

Er det noen som har noen idèer?

Bruk at u = arctan(x)
x = tan(u)

[tex]I=\int{\frac{dx}{(x^2+1)^2}}[/tex]

slik at, dx = (1+x^2) du = (1 + tan^2(u)) du

dvs

[tex]I=\int\frac{du}{1+\tan^2(u)}=\int \cos^2(u)\,du[/tex]

nå er den enklere...

Kom meg lenger nå, men har et spørsmål til.

Hvorfor blir [tex]sin(arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}[/tex] og [tex]cos(arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}[/tex]

SILK wrote:Kom meg lenger nå, men har et spørsmål til.
Hvorfor blir [tex]sin(arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}[/tex] og [tex]cos(arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}[/tex]

fordi man har en rettvinkla trekant der katetene er hhv 1 og x, og hypotenus lik [symbol:rot](1+x^2).
dernest pytagoras...

Ja, selvfølgelig

takk for hjelpa!