Tolkning og anvendelse av rettningsderivert.

[Betelgeuse]

Jeg har forstått det slik at gradienten [tex]\nabla f[/tex] som vi får ved å partiellderivere i alle variabelrettniger peker i rettning av høyest stigning.
Og at vi får en gitt rettningsderivert ved å ta skalarproduktet mellom rettningsvektoren [tex]\vec{r}[/tex] og gradienten.

Men siden [tex]\vec{r}[/tex] kan være så lang som helst og skalarproduktet derved kan bli så stort som overhodet mulig ser jeg ikke helt den geometriske tolkningen av dette.

Hvordan kan dette visualiseres?

Ex: Vi har at volumet av en sylinder med radius r og høyde h er gitt ved [tex]V(r, h) = \pi r^2 h[/tex]

Hvorfor er det da slik at det er en god tilnærming og si at

[tex]\Delta V \approx \frac{\partial V}{\partial r} \Delta r + \frac{\partial V}{\partial h} \Delta h[/tex]

Dette er jo det samme som den rettningsderiverte mellom gradienten til V og vektoren [tex](\Delta r, \Delta h)[/tex].. Så spørsmålet er altså hvordan man kan tenke på dette geometrisk?

[FredrikM]

Måtte tenke litt nå. Men forestill deg at du har en vektor r, som er så og så lang. La oss tenke oss at du bestemmer å "gå" på den.

Da vil [tex]\nabla f \cdot r[/tex] gi deg hvor mye funksjonsverdien har endret seg i løpet av gåturen. Er vektoren lang, vil du ganske stor endring i løpet av gåturen.

Nestenedit: Etter nærmere ettertanke tilfører ikke dette veldig mye forståelse. Klarer ikke helt å se hvordan eksemplet ditt skal belyses geometrisk. PS: Retning med én t.

[Betelgeuse]

Da vil [tex]\nabla f \cdot r[/tex] gi deg hvor mye funksjonsverdien har endret seg i løpet av gåturen. Er vektoren lang, vil du ganske stor endring i løpet av gåturen.

Hmm.. Okei. Hva om jeg tenker på det på følgende måte; Hvis vi har en retningsvektor med lenge 1 så vil den retningsderiverte (stigningen til en tangent) tilsvare endringen i funksjonen i punktet. Men hvis vi har en retningsderivert som er lengere enn 1 så vil denne _tilnærme_ hvor mye f forrandrer seg når vi går denne lengden. Er dette riktig?

Har vanskeligheter for å visualisere det selv fordi jeg er så vandt til å tenke på deriverte som stingingstall til tangenter. Med retningsderiverte skalerer man vel stigningen ettersom hvor lang retningsvektoren er?

PS: Takk for det. Retning må skrives rett!

[FredrikM]

Hmm.. Okei. Hva om jeg tenker på det på følgende måte; Hvis vi har en retningsvektor med lenge 1 så vil den retningsderiverte (stigningen til en tangent) tilsvare endringen i funksjonen i punktet. Men hvis vi har en retningsderivert som er lengere enn 1 så vil denne _tilnærme_ hvor mye f forrandrer seg når vi går denne lengden. Er dette riktig?

Nei. Det er ingenting spesielt med tallet 1. Det er det samme som i det todimensjonale tilfellet: Størrelsen [tex]f^*(x+h) = f(x)+hf^\prime (x)[/tex] forteller oss ikke hva funksjonsverdien er i [tex]x+h[/tex], men hva funksjonsverdien i tangentplanet ville vært hadde vi fulgt tangentplanet h enheter.

[Betelgeuse]

Ah, nå tror jeg jeg ser det. Hvis vi har et tredimensjonalt tilfellet og har funnet de partiellderiverte i x og y rettning ved gradienten

[tex] (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})[/tex] og evaluerer denne i et punkt [tex]\vec{a}=(a_1, a_2)[/tex] så vil disse tallene henholdsvis representere stiginingen langs x og y aksen i dette punktet. Hvis vi nå tar skalarproduktet med en vektor [tex](\Delta x, \Delta y)[/tex] har vi [tex](\frac{\partial f}{\partial x}(a_1)\Delta x, \frac{\partial f}{\partial y}(a_2)\Delta y)[/tex] som ikke svarer til å følge tangenten akkurat i punktet men å følge tangenten med samme stigning [tex]\Delta x[/tex] og [tex]\Delta y[/tex] enheter. Og siden stigingen i punktet forteller hvor mye funksjonen endrer seg akkurat der og vi antar at tangenten er en god tilnærming i området rundt punktet følger tilnærmingen jeg lurte på. Korrekt?

[FredrikM]

Hvor ble det av skalarproduktet? (jeg må innrømme at denne diskusjonen er litt opplysende for meg også - tenkte aldri over den visuelle tolkningen av den deriverte så mye i løpet av MAT1110)

Nå tror jeg at jeg har en mer presis tolkning av [tex] \frac{\partial V}{\partial r} \Delta r + \frac{\partial V}{\partial h} \Delta h[/tex]:

Hvert punkt har et tangentplan. Går vi en retning [tex]\vec{r}[/tex] i dette planet, vil funksjonsverdien til *tangentplanet* øke med [tex]\nabla \cdot \vec{r}[/tex]. Hvis [tex]|\vec{r}| \to 0[/tex], vil dette være en god tilnærming til hvor mye funksjonen øker i akkurat det aktuelle punktet. (fordi tangentplanet tilnærmer funksjonen godt i en omegn rundt det aktuelle punktet)

[Betelgeuse]

Jauff.. Jeg glemte jo summen av de to verdiene i skalarproduktet. Er enig i det du sier med tangentplanet og tilnærming rundt punktene.

Men hvilken geometrisk betydning har egentlig det at vi legger sammen de to verdiene [tex]\frac{\partial V}{\partial r} \Delta r + \frac{\partial V}{\partial h} \Delta h[/tex]? For de to individuelle leddene svarer jo til å følge tangenter med samme stigings som funksjonen langs aksene r og h og jeg ser lett nå at dette tilnærmer [tex]\Delta V[/tex] i disse rettningene, men jeg ser ikke hva summen skal bety?..

[Betelgeuse]

Ah joda. Dette er jo akkurat på samme formen som likningen til et plan.. som du sa!

[tex] z = z_0 + m_1(x-x_0) + m_2(y-y0)[/tex]

Har arbeidet alt for lite med geometri i [tex]\mathbb{R}^3[/tex]. Har virkelig problemer med å se hvorfor det stemmer at du får verdien i et gitt punkt i planet ved å summere opp verdien langs aksene av planet. Prøver å tegne det opp...

Analytisk er det forsåvidt greit;

[tex]z(\vec{a}) = z_0 + \frac{\Delta z}{\Delta x} (\Delta x) + \frac{\Delta z}{\Delta y} (\Delta y) = z_0 + \Delta z[/tex]

Meeen det virker ikke logisk at [tex]\Delta z_{tot} = \Delta z_x + \Delta z_y[/tex].Gjør det det?

[FredrikM]

Henger ikke helt med på notasjonen din.

Men husk at tangentplanet forteller oss stigningstallet i alle retninger i det punktet. Det gjelder bare å komme seg dit.

Ligningen for et tangentplan er vel gitt ved
[tex]r\cdot x=z_0[/tex]

Der r er en enhetsretningsvektor og [tex]x=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3[/tex].

[Betelgeuse]

Nei, notasjonen var muligens ikke så konsistent.. Ser ikke helt hvordan det gir linkningen til et tangentplan? Hvis man skal beskrive et plan ved hjelp av to vektorer og skalarprodukt må vel disse vektorene være en vektor i planet og en som står normalt på planet, altså normalvektoren.

Det jeg mente var at et generelt plan har lining på formen

[tex]z = z_0 + m_1(x-x_0) + m_2(y-y0)[/tex]

der [tex]m_1, m_2[/tex] er stigningstall. Et tangentplan på samme form blir da

[tex]z = z_0 + \frac{\partial z}{\partial x} (x-x_0) + \frac{\partial z}{\partial y} (y - y_0)[/tex]

Setter vi inn noen verdier for y og x svarer faktorene [tex](y - y_0)[/tex] og [tex](x - x_o)[/tex] til forrandringen i x og y rettning, altså [tex]\Delta y[/tex] og [tex]\Delta x[/tex]. Så jeg er enig i at vi faktisk beveger oss i tangentplanet (eller planet med samme stigning som tangentplanet) når vi tar skalarproduktet mellom gradienten og vektoren [tex](\Delta r, \Delta h)[/tex]. Men jeg ser det ikke for meg..

er du enig at vi beveger oss langs linjene med stigningstall som funksjonen i r og h retning (som jeg ser for meg spenner ut tangentplanet) ved

[tex]\frac{\partial V}{\partial r} \Delta r[/tex]
[tex]\frac{\partial V}{\partial h} \Delta h[/tex]
?

Disse to linjene spenner jo ut planet, right?

Det jeg nå er på jakt etter er et geometrisk argument som forteller noe om hvorfor summen av endringene til linjene som spenner ut tangentplanet tilsvarer den totale endringen av planet i V-retning.. (eller z).

[FredrikM]

Ser ikke helt hvordan det gir linkningen til et tangentplan?

Det har du god grunn til Jeg må ha vært i et trøtt øyeblikk. (som alltid?) Glem den.

er du enig at vi beveger oss langs linjene med stigningstall som funksjonen i r og h retning (som jeg ser for meg spenner ut tangentplanet) ved

Jada.

Det jeg nå er på jakt etter er et geometrisk argument som forteller noe om hvorfor summen av endringene til linjene som spenner ut tangentplanet tilsvarer den totale endringen av planet i V-retning.. (eller z).

Planet er flatt, så det er lineært. Derfor har vi at T(a+b)=T(a)+T(b) hvor T er en tangentfunksjon. Sagt med andre ord: summen av tangentvektorer i et punkt, er også tangentvektor i det samme punktet, bare i en annen retning.

[Gustav]

Jeg har ikke lest alt dere har skrevet så nøye, men kan kanskje komme med noen tips for hvordan det ofte er greit å tenke seg slike ting.

Hvis [tex]V:R_+^2\to R_+[/tex] er en kontinuerlig deriverbar funksjon som representerer en flate i [tex]R^3[/tex] sier vi at tangentplanet i et punkt [tex](r,h,V(r,h))[/tex] er mengden av alle tangentvektorer i punktet. Det er hensiktsmessig å la [tex]\vec{r}[/tex] være en parametrisering av flaten, slik: [tex]\vec{r}=\langle r,h,V(r,h)\rangle[/tex].

De partiellderiverte [tex]\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}[/tex] og [tex]\frac{\partial \vec{r}}{\partial h}[/tex] er da lineært uavhengige (tangent)vektorer som utspenner tangentplanet. De representerer vektorer fra punktet langs tangentplanet når vi beveger oss én enhet langs henholdsvis r- og h-aksen.

V(r,h) er i en liten omegn rundt punktet (r,h) tilnærmet likt tangentplanet i punktet, så hvis vi går små avstander [tex]\Delta r[/tex] langs r-aksen og [tex]\Delta h[/tex] langs h-aksen, er;

[tex]\Delta \vec{r}\approx\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}\Delta r+ \frac{\partial \vec{r}}{\partial h}\Delta h=\langle \Delta r,\Delta h,\frac{\partial V(r,h)}{\partial r}\Delta r+\frac{\partial V(r,h)}{\partial h}\Delta h\rangle[/tex] der den siste komponenten tilnærmet er endringen [tex]\Delta V(r,h)[/tex].

[Betelgeuse]

Jeg er enig i det du sier plutarco, men problemet omformet seg til et visuelt et..

Om det var rimelig geometrisk at den totale endringen av z når du går langs en linje i et plan i [tex]\mathbb{R^3}[/tex] er summen av endringene når du går langs linjene som spenner ut planet.. Som forsåvidt også er komponentene til denne første linjen langs koordinataksene.

Jeg har funnet at dette visualiseres lett hvis man holder opp f.eks en kladdebok og lar lengen man går i langs koordinataksene være kladdebokens høyde og bredde.