Trapesregelen anvendt på kurveintegraler

[squarepusher]

Hei! Sliter litt med denne. Oppgaven lyder som følger:

Vi tilnærmer en kontinuerlig kurve C, med en sekvens rette linjer. Punktene der draget av rette linjer interpolerer C betegnes med r[sub]i[/sub] = x[sub]i[/sub]î + y[sub]i[/sub]j, der i = 1, ..., n. Langs kurven kan et vektorfelt v diskretiseres ved verdiene v[sub]i[/sub] = v(r[sub]i[/sub]). En tilnærmelse til

I = [symbol:integral][sub]C[/sub] v * dr

kan da regnes ut ved

I* = [symbol:integral][sub]C*[/sub] v* * dr

der C* består av draget av rette linjer og v* varierer lineært langs hvert rett linjestykke. Dette er en variant av trapesregelen anvendt på kurveintegraler. Vis at fra linjestykket mellom punkt i og i + 1 blir bidraget til I*:

I*[sub]i[/sub] = (1/2)(u[sub]i[/sub] + u[sub]i+1[/sub])(x[sub]i+1[/sub] - x[sub]i[/sub]) + (1/2)(v[sub]i[/sub] + v[sub]i+1[/sub])(y[sub]i+1[/sub] - y[sub]i[/sub])

Vektorfeltet v er gitt ved

v = uî + vj

Noen som har noen forslag?

[Gustav]

Det blir vel å ta snittet av vektorfeltet i punktene [tex](x_i,y_i)[/tex] og [tex](x_{i+1},y_{i+1})[/tex] og prikke dette med vektoren [tex]\Delta \vec{r_i}=(x_{i+1}-x_i,y_{i+1}-y_i)[/tex];


[tex]\frac12 (u_{i+1}+u_i,v_{i+1}+v_i)\cdot (x_{i+1}-x_i,y_{i+1}-y_i)[/tex]