Men første spørsmål er under hva jeg mener jeg klarer da, men får det ikke til å stemme med fasit...
Håper noen er keen på å se over... [tex]a_n[/tex] trodde jeg faktisk klarte når jeg skrev den i TEX, men fikk fortegnsfeil i endelig svar, men ellers så er jeg skikkelig på jordet på [tex]b_3[/tex]. Er ikke så beinsikker på dette emnet, så tar imot tips og triks og løsning på denne første deloppgaven...
Det kommer en b oppgave, siden det ikke er noen løsningsforslag til denne eksamen...
Oppgave:
En periodisk funksjon med periode [tex]T = 2[/tex] er i intervallet [tex][-1,1>[/tex] definert ved
[tex]f(x) = \{-x^3 \rightarrow -1 \leq x \leq 0 \\ x^3 \,\,\, \rightarrow \,\, 0 \leq x \leq 1[/tex]
a)
Bestem koeffisientene [tex]a_0, a_3[/tex] og [tex]b_3[/tex] i fourierrekken til [tex]f(x)[/tex]
Bruker T-formel som jeg kaller det:
[tex]w = \frac{2\pi}{T}[/tex]
[tex]a_0 = \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx[/tex]
[tex]a_n = \frac{2}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) cos(nwx) dx[/tex]
[tex]b_n =\frac{2}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) sin(nwx) dx[/tex]
Min tankegang:
[tex]w = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi[/tex]
[tex]a_0 = \frac{1}{2} \int_{\frac{-2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 f(x) dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4} \[x^4\]_0^1 = \frac{1}{4} \(1^4-0^4\) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}[/tex]
Denne stemmer med fasiten... Men så begynner morro'a...
[tex]a_3 =2\(-\frac{1}{3\pi^2}+\frac{4}{27\pi^4}\) \approx -0,0645[/tex]
[tex]b_3 = 0[/tex]
Mine beregninger:
[tex]a_n = \frac{2}{2}\int_{-\frac{2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) cos(nwx) dx = 2 \cdot 1\int_0^1 x^3 cos(nwx) dx[/tex]
Bruker noe kalt Søylandmetoden (mulig bare vår bok som har den, men er kjekk måte for å gjennomføre delvis integrasjon raskt)
[tex]2\[\frac{x^3sin(nwx)}{nw}+\frac{3x^2cos(nwx)}{\(nw\)^2}-\frac{6xsin(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6cos(nwx)}{\(nw\)^4}\]_0^1 =[/tex]
[tex]2\(\frac{1^3sin(n \pi \cdot 1)}{n\pi}+\frac{3 \cdot 1^2cos(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6 \cdot 1sin(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^3}-\frac{6cos(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^4}\) - 2\(\frac{0^3sin(n\pi \cdot 0)}{n\pi}+\frac{3 \cdot 0^2cos(n\pi \cdot 0)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6 \cdot 0 sin(n\pi \cdot 0)}{\(n \pi \)^3}-\frac{6cos(n\pi \cdot 0)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(\frac{sin(n\pi)}{n\pi}+\frac{3cos(n\pi)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6sin(n\pi)}{\(n\pi\)^3}+\frac{6cos(n\pi)}{\(n\pi\)^4}\) - 2\(-\frac{6cos(0)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
Vet:
[tex]sin(n\pi) = sin(0) = 0[/tex]
[tex]cos(n\pi) = (-1)^n[/tex]
[tex]2\(\frac{0}{n\pi}+\frac{3cos(n\pi)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6\cdot 0}{\(n\pi\)^3}+\frac{6cos(n\pi)}{\(n\pi\)^4}+\frac{6}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(\frac{3 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^4}+\frac{6}{\(n\pi\)^4}\)[/tex] - Ferdig her?
[tex]a_3 = 2\(\frac{3 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^4}+\frac{6}{\(3\pi\)^4}\) = 2\(-\frac{3}{9\pi^2}-\frac{6}{81\pi^4}+\frac{6}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{3}{9\pi^2}-\frac{6+6}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{1}{3\pi^2}-\frac{12}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{1}{3\pi^2} - \frac{4}{27\pi^4}\)[/tex]
Så [tex]b_3[/tex]:
[tex]b_n = \frac{2}{2}\int_{-\frac{2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) sin(nwx) dx = 2 \cdot 1\int_0^1 x^3 sin(nwx) dx[/tex]
[tex]2\[-\frac{x^3cos(nwx)}{nw}+\frac{3x^2sin(nwx)}{\(nw\)^2}+\frac{6xcos(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nwx)}{\(nw\)^4}\]_0^1 =[/tex]
[tex]2\(-\frac{1^3cos(nw \cdot 1)}{nw}+\frac{3 \cdot 1^2sin(nw \cdot 1)}{\(nw\)^2}+\frac{6 \cdot 1 cos(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nw \cdot 1)}{\(nw\)^4}\) - 2\(-\frac{0^3cos(nw \cdot 0)}{nw}+\frac{3 \cdot 0^2sin(nw \cdot 0)}{\(nw\)^2}+\frac{6 \cdot 0 cos(nw \cdot 0)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nw \cdot 0)}{\(nw\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{cos(n\pi)}{n\pi}+\frac{3sin(n\pi)}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 cos(n\pi)}{\(n\pi\)^3}-\frac{6sin(n\pi)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{3 \cdot 0}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^3}-\frac{6 \cdot 0}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^3}\)[/tex] - Ferdig her?
[tex]b_3 = 2\(-\frac{(-1)^3}{3\pi}+\frac{6 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^3}\) = 2\(\frac{1}{3\pi}-\frac{6}{27\pi^3}\) = 2\(\frac{1}{3\pi}-\frac{2}{9\pi^3}\) \neq 0[/tex]
(se neste post!)
...