matematikk.net

Ja, eksamenstiden har startet og etter mange timer på skolen og enda flere fremover, så er det bare noe jeg ikke forstår ved denne rekken... Jeg er ikke akkurat ram på disse, forstår hvordan man kommer frem til diverse, men er ikke kompatibel med alt enda...

Men første spørsmål er under hva jeg mener jeg klarer da, men får det ikke til å stemme med fasit...

Håper noen er keen på å se over... [tex]a_n[/tex] trodde jeg faktisk klarte når jeg skrev den i TEX, men fikk fortegnsfeil i endelig svar, men ellers så er jeg skikkelig på jordet på [tex]b_3[/tex]. Er ikke så beinsikker på dette emnet, så tar imot tips og triks og løsning på denne første deloppgaven...
Det kommer en b oppgave, siden det ikke er noen løsningsforslag til denne eksamen...


Oppgave:
En periodisk funksjon med periode [tex]T = 2[/tex] er i intervallet [tex][-1,1>[/tex] definert ved
[tex]f(x) = \{-x^3 \rightarrow -1 \leq x \leq 0 \\ x^3 \,\,\, \rightarrow \,\, 0 \leq x \leq 1[/tex]

a)
Bestem koeffisientene [tex]a_0, a_3[/tex] og [tex]b_3[/tex] i fourierrekken til [tex]f(x)[/tex]


Bruker T-formel som jeg kaller det:
[tex]w = \frac{2\pi}{T}[/tex]


[tex]a_0 = \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx[/tex]

[tex]a_n = \frac{2}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) cos(nwx) dx[/tex]

[tex]b_n =\frac{2}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) sin(nwx) dx[/tex]


Min tankegang:
[tex]w = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi[/tex]

[tex]a_0 = \frac{1}{2} \int_{\frac{-2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 f(x) dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4} \[x^4\]_0^1 = \frac{1}{4} \(1^4-0^4\) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}[/tex]

Denne stemmer med fasiten... Men så begynner morro'a...
[tex]a_3 =2\(-\frac{1}{3\pi^2}+\frac{4}{27\pi^4}\) \approx -0,0645[/tex]
[tex]b_3 = 0[/tex]


Mine beregninger:
[tex]a_n = \frac{2}{2}\int_{-\frac{2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) cos(nwx) dx = 2 \cdot 1\int_0^1 x^3 cos(nwx) dx[/tex]
Bruker noe kalt Søylandmetoden (mulig bare vår bok som har den, men er kjekk måte for å gjennomføre delvis integrasjon raskt)

[tex]2\[\frac{x^3sin(nwx)}{nw}+\frac{3x^2cos(nwx)}{\(nw\)^2}-\frac{6xsin(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6cos(nwx)}{\(nw\)^4}\]_0^1 =[/tex]

[tex]2\(\frac{1^3sin(n \pi \cdot 1)}{n\pi}+\frac{3 \cdot 1^2cos(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6 \cdot 1sin(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^3}-\frac{6cos(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^4}\) - 2\(\frac{0^3sin(n\pi \cdot 0)}{n\pi}+\frac{3 \cdot 0^2cos(n\pi \cdot 0)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6 \cdot 0 sin(n\pi \cdot 0)}{\(n \pi \)^3}-\frac{6cos(n\pi \cdot 0)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]

[tex]2\(\frac{sin(n\pi)}{n\pi}+\frac{3cos(n\pi)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6sin(n\pi)}{\(n\pi\)^3}+\frac{6cos(n\pi)}{\(n\pi\)^4}\) - 2\(-\frac{6cos(0)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]

Vet:
[tex]sin(n\pi) = sin(0) = 0[/tex]
[tex]cos(n\pi) = (-1)^n[/tex]

[tex]2\(\frac{0}{n\pi}+\frac{3cos(n\pi)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6\cdot 0}{\(n\pi\)^3}+\frac{6cos(n\pi)}{\(n\pi\)^4}+\frac{6}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]

[tex]2\(\frac{3 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^4}+\frac{6}{\(n\pi\)^4}\)[/tex] - Ferdig her?


[tex]a_3 = 2\(\frac{3 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^4}+\frac{6}{\(3\pi\)^4}\) = 2\(-\frac{3}{9\pi^2}-\frac{6}{81\pi^4}+\frac{6}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{3}{9\pi^2}-\frac{6+6}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{1}{3\pi^2}-\frac{12}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{1}{3\pi^2} - \frac{4}{27\pi^4}\)[/tex]


Så [tex]b_3[/tex]:
[tex]b_n = \frac{2}{2}\int_{-\frac{2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) sin(nwx) dx = 2 \cdot 1\int_0^1 x^3 sin(nwx) dx[/tex]

[tex]2\[-\frac{x^3cos(nwx)}{nw}+\frac{3x^2sin(nwx)}{\(nw\)^2}+\frac{6xcos(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nwx)}{\(nw\)^4}\]_0^1 =[/tex]

[tex]2\(-\frac{1^3cos(nw \cdot 1)}{nw}+\frac{3 \cdot 1^2sin(nw \cdot 1)}{\(nw\)^2}+\frac{6 \cdot 1 cos(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nw \cdot 1)}{\(nw\)^4}\) - 2\(-\frac{0^3cos(nw \cdot 0)}{nw}+\frac{3 \cdot 0^2sin(nw \cdot 0)}{\(nw\)^2}+\frac{6 \cdot 0 cos(nw \cdot 0)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nw \cdot 0)}{\(nw\)^4}\) =[/tex]

[tex]2\(-\frac{cos(n\pi)}{n\pi}+\frac{3sin(n\pi)}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 cos(n\pi)}{\(n\pi\)^3}-\frac{6sin(n\pi)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]

[tex]2\(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{3 \cdot 0}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^3}-\frac{6 \cdot 0}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]

[tex]2\(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^3}\)[/tex] - Ferdig her?

[tex]b_3 = 2\(-\frac{(-1)^3}{3\pi}+\frac{6 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^3}\) = 2\(\frac{1}{3\pi}-\frac{6}{27\pi^3}\) = 2\(\frac{1}{3\pi}-\frac{2}{9\pi^3}\) \neq 0[/tex]

a3 ser vel ut til å stemme? tastet inn i wolframalpha og fikk samme uttrykket som du fikk.

[FAIL]angående b_n, så kan du vel si at siden [tex]x^3\cdot\sin(n\pi x)[/tex] er en like-funksjon, så vil du når du integrerer over en hel periode alltid få null som svar.[/FAIL] (se neste post!)

Jaok, det siste viste jeg ikke, men integrer jo over halveperioden, men blir jo hele siden jeg ganger med to... Men er det sånn med alle like funksjoner? Noe sånt med Odde også? Alle null på de også eller?


Hvordan vet du at den er like? Hvorfor finne da a_0, a_n og b_n? da tenkte jeg at den ikke var noen av delen siden ved like faller b_n bort og odde så faller a_o og a_n bort... (eller omvendt, det begynner blir sent, men fortsatt på skolen )

meCarnival wrote:Jaok, det siste viste jeg ikke, men integrer jo over halveperioden, men blir jo hele siden jeg ganger med to... Men er det sånn med alle like funksjoner? Noe sånt med Odde også? Alle null på de også eller?


Hvordan vet du at den er like? Hvorfor finne da a_0, a_n og b_n? da tenkte jeg at den ikke var noen av delen siden ved like faller b_n bort og odde så faller a_o og a_n bort... (eller omvendt, det begynner blir sent, men fortsatt på skolen )

For det første må jeg bare rette på meg selv og innse at jeg må slutte å skrive innlegg her så sent om kveldene: integralet over en periode av en odde funksjon er lik null, ikke integralet over en like-funksjon, som jeg skrev i natt. Dermed blir det jeg skrev feil mht din oppgave. Men det går fortsatt an å forenkle oppgaven litt, samt rette på andre småting

Hvis du analyserer funksjonen din, så vil du se at [tex]f(x) = f(-x)[/tex] for de verdiene den er definert for, med andre ord en like-funksjon.

Produktet av to like-funksjoner, i ditt tilfelle [tex]f(x)[/tex] og [tex]\cos(kx)[/tex] for [tex]a_n[/tex], vil alltid være en like-funksjon. Integrerer du fra -A til A over en like-funksjon tilsvarer det to ganger integralet fra 0 til A. Dette har du gjort når du regner ut [tex]a_n[/tex], og derfor får derfor også riktig svar.

Produktet av en like-funksjon og en odde-funksjon, i ditt tilfelle [tex]f(x)[/tex] og [tex]\sin(kx)[/tex] for [tex]b_n[/tex], vil alltid være en odde-funksjon. Integrerer du fra -A til A over en odde-funksjon vil integralet alltid være lik null.

Hvordan du finner ut hva slags funksjoner det er? Bruker rett og slett definisjonen på de to typene, og ser hva slags [tex]f(x)[/tex] du har med å gjøre.
Du vet at en like-funksjon er en funksjon der [tex]f(x) = f(-x)[/tex], mens en odde-funksjon er en funksjon der [tex]f(x) = -f(x)[/tex]. Ved første øyekast kan det være fort gjort å si at [tex]f(x)[/tex] er en odde-funksjon i oppgaven din, da [tex]f(x) = x^3[/tex] isolert sett er en odde-funksjon. [tex]f(x) =-x^3, \, x\in[-1,0][/tex] tilsvarer at [tex]f(x) = f(-x)\, \forall x\in I[/tex] : like-funksjon.

Deretter bruker en videre at produktet mellom en like-funksjon og en odde-funksjon er lik en odde-funksjon. La f.eks [tex]f(x)[/tex] være en odde-funksjon, og [tex]g(x)[/tex] en like-funksjon. Hvis [tex]h(x)[/tex] settes lik [tex]g(x)f(x)[/tex], ser en lett at [tex]h(x) = -h(x)[/tex] : odde-funksjon.

For de to andre tilfellene (to odde- eller like-funksjoner) vil [tex]h(x)[/tex] være en like-funksjon.

Anbefaler deg å se etter sånne egenskaper hvis du får lignende oppgaver på eksamen, da det kan spare deg for veldig mye tid (tar ikke akkurat kort tid å delvis integrere tre ledd, og deretter sette inn for grensene og se hva resultatet blir).

Takker.. Ja, jeg viste forsåvidt halvparten av innlegget ditt, siden jeg tenkte ikke over det å sette inn -x og se om du får u -f(x) eller f(-x)...

Men jeg lærte jo litt nytt også som kommer nyttig med.. Så jeg kan bare si b_n blir null siden x^3 er en odde funksjon... Så jeg kan faktisk ta å finne ut f(x) i starten av oppgaven også bare si at det og det sammen blir 0 uten å integrere... Herlig ...

meCarnival wrote:Så jeg kan bare si b_n blir null siden x^3 er en odde funksjon...

Det er ikke fordi x^3 er en odde-funksjon b_n blir null, men fordi f(x) er en like-funksjon, slik at produktet f(x)sin(nwx) blir en odde-funksjon, som integrert over en periode er lik null.

meCarnival wrote: Så jeg kan faktisk ta å finne ut f(x) i starten av oppgaven også bare si at det og det sammen blir 0 uten å integrere... Herlig ...

Jepp, men husk å sjekke ordentlig hva slags type funksjon f(x) faktisk er.