Fourierrekke
Posted: 22/11-2009 23:31
Ja, eksamenstiden har startet og etter mange timer på skolen og enda flere fremover, så er det bare noe jeg ikke forstår ved denne rekken... Jeg er ikke akkurat ram på disse, forstår hvordan man kommer frem til diverse, men er ikke kompatibel med alt enda...
Men første spørsmål er under hva jeg mener jeg klarer da, men får det ikke til å stemme med fasit...
Håper noen er keen på å se over... [tex]a_n[/tex] trodde jeg faktisk klarte når jeg skrev den i TEX, men fikk fortegnsfeil i endelig svar, men ellers så er jeg skikkelig på jordet på [tex]b_3[/tex]. Er ikke så beinsikker på dette emnet, så tar imot tips og triks og løsning på denne første deloppgaven...
Det kommer en b oppgave, siden det ikke er noen løsningsforslag til denne eksamen...
Oppgave:
En periodisk funksjon med periode [tex]T = 2[/tex] er i intervallet [tex][-1,1>[/tex] definert ved
[tex]f(x) = \{-x^3 \rightarrow -1 \leq x \leq 0 \\ x^3 \,\,\, \rightarrow \,\, 0 \leq x \leq 1[/tex]
a)
Bestem koeffisientene [tex]a_0, a_3[/tex] og [tex]b_3[/tex] i fourierrekken til [tex]f(x)[/tex]
Bruker T-formel som jeg kaller det:
[tex]w = \frac{2\pi}{T}[/tex]
[tex]a_0 = \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx[/tex]
[tex]a_n = \frac{2}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) cos(nwx) dx[/tex]
[tex]b_n =\frac{2}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) sin(nwx) dx[/tex]
Min tankegang:
[tex]w = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi[/tex]
[tex]a_0 = \frac{1}{2} \int_{\frac{-2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 f(x) dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4} \[x^4\]_0^1 = \frac{1}{4} \(1^4-0^4\) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}[/tex]
Denne stemmer med fasiten... Men så begynner morro'a...
[tex]a_3 =2\(-\frac{1}{3\pi^2}+\frac{4}{27\pi^4}\) \approx -0,0645[/tex]
[tex]b_3 = 0[/tex]
Mine beregninger:
[tex]a_n = \frac{2}{2}\int_{-\frac{2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) cos(nwx) dx = 2 \cdot 1\int_0^1 x^3 cos(nwx) dx[/tex]
Bruker noe kalt Søylandmetoden (mulig bare vår bok som har den, men er kjekk måte for å gjennomføre delvis integrasjon raskt)
[tex]2\[\frac{x^3sin(nwx)}{nw}+\frac{3x^2cos(nwx)}{\(nw\)^2}-\frac{6xsin(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6cos(nwx)}{\(nw\)^4}\]_0^1 =[/tex]
[tex]2\(\frac{1^3sin(n \pi \cdot 1)}{n\pi}+\frac{3 \cdot 1^2cos(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6 \cdot 1sin(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^3}-\frac{6cos(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^4}\) - 2\(\frac{0^3sin(n\pi \cdot 0)}{n\pi}+\frac{3 \cdot 0^2cos(n\pi \cdot 0)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6 \cdot 0 sin(n\pi \cdot 0)}{\(n \pi \)^3}-\frac{6cos(n\pi \cdot 0)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(\frac{sin(n\pi)}{n\pi}+\frac{3cos(n\pi)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6sin(n\pi)}{\(n\pi\)^3}+\frac{6cos(n\pi)}{\(n\pi\)^4}\) - 2\(-\frac{6cos(0)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
Vet:
[tex]sin(n\pi) = sin(0) = 0[/tex]
[tex]cos(n\pi) = (-1)^n[/tex]
[tex]2\(\frac{0}{n\pi}+\frac{3cos(n\pi)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6\cdot 0}{\(n\pi\)^3}+\frac{6cos(n\pi)}{\(n\pi\)^4}+\frac{6}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(\frac{3 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^4}+\frac{6}{\(n\pi\)^4}\)[/tex] - Ferdig her?
[tex]a_3 = 2\(\frac{3 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^4}+\frac{6}{\(3\pi\)^4}\) = 2\(-\frac{3}{9\pi^2}-\frac{6}{81\pi^4}+\frac{6}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{3}{9\pi^2}-\frac{6+6}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{1}{3\pi^2}-\frac{12}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{1}{3\pi^2} - \frac{4}{27\pi^4}\)[/tex]
Så [tex]b_3[/tex]:
[tex]b_n = \frac{2}{2}\int_{-\frac{2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) sin(nwx) dx = 2 \cdot 1\int_0^1 x^3 sin(nwx) dx[/tex]
[tex]2\[-\frac{x^3cos(nwx)}{nw}+\frac{3x^2sin(nwx)}{\(nw\)^2}+\frac{6xcos(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nwx)}{\(nw\)^4}\]_0^1 =[/tex]
[tex]2\(-\frac{1^3cos(nw \cdot 1)}{nw}+\frac{3 \cdot 1^2sin(nw \cdot 1)}{\(nw\)^2}+\frac{6 \cdot 1 cos(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nw \cdot 1)}{\(nw\)^4}\) - 2\(-\frac{0^3cos(nw \cdot 0)}{nw}+\frac{3 \cdot 0^2sin(nw \cdot 0)}{\(nw\)^2}+\frac{6 \cdot 0 cos(nw \cdot 0)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nw \cdot 0)}{\(nw\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{cos(n\pi)}{n\pi}+\frac{3sin(n\pi)}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 cos(n\pi)}{\(n\pi\)^3}-\frac{6sin(n\pi)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{3 \cdot 0}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^3}-\frac{6 \cdot 0}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^3}\)[/tex] - Ferdig her?
[tex]b_3 = 2\(-\frac{(-1)^3}{3\pi}+\frac{6 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^3}\) = 2\(\frac{1}{3\pi}-\frac{6}{27\pi^3}\) = 2\(\frac{1}{3\pi}-\frac{2}{9\pi^3}\) \neq 0[/tex]

Men første spørsmål er under hva jeg mener jeg klarer da, men får det ikke til å stemme med fasit...
Håper noen er keen på å se over... [tex]a_n[/tex] trodde jeg faktisk klarte når jeg skrev den i TEX, men fikk fortegnsfeil i endelig svar, men ellers så er jeg skikkelig på jordet på [tex]b_3[/tex]. Er ikke så beinsikker på dette emnet, så tar imot tips og triks og løsning på denne første deloppgaven...
Det kommer en b oppgave, siden det ikke er noen løsningsforslag til denne eksamen...
Oppgave:
En periodisk funksjon med periode [tex]T = 2[/tex] er i intervallet [tex][-1,1>[/tex] definert ved
[tex]f(x) = \{-x^3 \rightarrow -1 \leq x \leq 0 \\ x^3 \,\,\, \rightarrow \,\, 0 \leq x \leq 1[/tex]
a)
Bestem koeffisientene [tex]a_0, a_3[/tex] og [tex]b_3[/tex] i fourierrekken til [tex]f(x)[/tex]
Bruker T-formel som jeg kaller det:
[tex]w = \frac{2\pi}{T}[/tex]
[tex]a_0 = \frac{1}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) dx[/tex]
[tex]a_n = \frac{2}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) cos(nwx) dx[/tex]
[tex]b_n =\frac{2}{T} \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) sin(nwx) dx[/tex]
Min tankegang:
[tex]w = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi[/tex]
[tex]a_0 = \frac{1}{2} \int_{\frac{-2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 f(x) dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4} \[x^4\]_0^1 = \frac{1}{4} \(1^4-0^4\) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \underline{\underline{\frac{1}{4}}}[/tex]
Denne stemmer med fasiten... Men så begynner morro'a...
[tex]a_3 =2\(-\frac{1}{3\pi^2}+\frac{4}{27\pi^4}\) \approx -0,0645[/tex]
[tex]b_3 = 0[/tex]
Mine beregninger:
[tex]a_n = \frac{2}{2}\int_{-\frac{2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) cos(nwx) dx = 2 \cdot 1\int_0^1 x^3 cos(nwx) dx[/tex]
Bruker noe kalt Søylandmetoden (mulig bare vår bok som har den, men er kjekk måte for å gjennomføre delvis integrasjon raskt)
[tex]2\[\frac{x^3sin(nwx)}{nw}+\frac{3x^2cos(nwx)}{\(nw\)^2}-\frac{6xsin(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6cos(nwx)}{\(nw\)^4}\]_0^1 =[/tex]
[tex]2\(\frac{1^3sin(n \pi \cdot 1)}{n\pi}+\frac{3 \cdot 1^2cos(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6 \cdot 1sin(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^3}-\frac{6cos(n\pi \cdot 1)}{\(n\pi\)^4}\) - 2\(\frac{0^3sin(n\pi \cdot 0)}{n\pi}+\frac{3 \cdot 0^2cos(n\pi \cdot 0)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6 \cdot 0 sin(n\pi \cdot 0)}{\(n \pi \)^3}-\frac{6cos(n\pi \cdot 0)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(\frac{sin(n\pi)}{n\pi}+\frac{3cos(n\pi)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6sin(n\pi)}{\(n\pi\)^3}+\frac{6cos(n\pi)}{\(n\pi\)^4}\) - 2\(-\frac{6cos(0)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
Vet:
[tex]sin(n\pi) = sin(0) = 0[/tex]
[tex]cos(n\pi) = (-1)^n[/tex]
[tex]2\(\frac{0}{n\pi}+\frac{3cos(n\pi)}{\(n\pi\)^2}-\frac{6\cdot 0}{\(n\pi\)^3}+\frac{6cos(n\pi)}{\(n\pi\)^4}+\frac{6}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(\frac{3 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^4}+\frac{6}{\(n\pi\)^4}\)[/tex] - Ferdig her?
[tex]a_3 = 2\(\frac{3 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^4}+\frac{6}{\(3\pi\)^4}\) = 2\(-\frac{3}{9\pi^2}-\frac{6}{81\pi^4}+\frac{6}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{3}{9\pi^2}-\frac{6+6}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{1}{3\pi^2}-\frac{12}{81\pi^4}\) = 2\(-\frac{1}{3\pi^2} - \frac{4}{27\pi^4}\)[/tex]

Så [tex]b_3[/tex]:
[tex]b_n = \frac{2}{2}\int_{-\frac{2}{2}}^{\frac{2}{2}} f(x) sin(nwx) dx = 2 \cdot 1\int_0^1 x^3 sin(nwx) dx[/tex]
[tex]2\[-\frac{x^3cos(nwx)}{nw}+\frac{3x^2sin(nwx)}{\(nw\)^2}+\frac{6xcos(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nwx)}{\(nw\)^4}\]_0^1 =[/tex]
[tex]2\(-\frac{1^3cos(nw \cdot 1)}{nw}+\frac{3 \cdot 1^2sin(nw \cdot 1)}{\(nw\)^2}+\frac{6 \cdot 1 cos(nwx)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nw \cdot 1)}{\(nw\)^4}\) - 2\(-\frac{0^3cos(nw \cdot 0)}{nw}+\frac{3 \cdot 0^2sin(nw \cdot 0)}{\(nw\)^2}+\frac{6 \cdot 0 cos(nw \cdot 0)}{\(nw\)^3}-\frac{6sin(nw \cdot 0)}{\(nw\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{cos(n\pi)}{n\pi}+\frac{3sin(n\pi)}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 cos(n\pi)}{\(n\pi\)^3}-\frac{6sin(n\pi)}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{3 \cdot 0}{\(n\pi\)^2}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^3}-\frac{6 \cdot 0}{\(n\pi\)^4}\) =[/tex]
[tex]2\(-\frac{(-1)^n}{n\pi}+\frac{6 \cdot (-1)^n}{\(n\pi\)^3}\)[/tex] - Ferdig her?
[tex]b_3 = 2\(-\frac{(-1)^3}{3\pi}+\frac{6 \cdot (-1)^3}{\(3\pi\)^3}\) = 2\(\frac{1}{3\pi}-\frac{6}{27\pi^3}\) = 2\(\frac{1}{3\pi}-\frac{2}{9\pi^3}\) \neq 0[/tex]
