Deriverte av invers

[Thor-André]

[tex] g(x) [/tex] er inversen til [tex] f(x)= x^5 -3x^3+5x+1[/tex]

Hva er da [tex]\frac{d}{dx}g(1)[/tex]?

Hvordan går man frem for å løse denne oppgaven?

[FredrikM]

Man har en fin regel som sier at
[tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(g(x))}[/tex]

(Siden f(g(x))=x, følger påstanden fra kjerneregelen etter derivasjon på begge sider)

[Thor-André]

Men jeg har jo ikke [tex] g(x) [/tex], må jeg finne den?

Isåfall, hvordan finner jeg den? Klarer ikke å invertere den hvertfall...

[mrcreosote]

Så lenge du bare er interessert i g'(1) trenger du ikke et eksplisitt uttrykk for g(x).

[Thor-André]

Men trenger du ikke verdien til [tex]g(1)[/tex]? Hvordan finner du den?

[mrcreosote]

Hvis du erstatter x med f(x) i FredrikMs formel, og bruker at g(f(x))=x, kan du løse ligninga f(x)=1 med hensyn på x, og så er du nesten i mål.

[Thor-André]

Jeg er dessverre ikke helt med, jeg prøver som du sa:
[tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(g(x))}[/tex]

[tex]g^\prime(f(x))=\frac{1}{f^\prime(g(f(x)))}[/tex]

[tex]g^\prime(f(x))=\frac{1}{f^\prime(x)}[/tex]

Men hvordan vet du da at du må løse [tex] f(x) = 1[/tex] egentlig?

Uansett, jeg prøver å løse:

[tex] f(x) = 1 \\ x^5 - 3x^3+5x = 0 \\ x(x^4 - 3x^2 + 5 = 0[/tex]

Kan løse denne med ABC, det [tex] x = x^2 [/tex]... Men denne ligningen gir jo ingen løsning?

[Karl_Erik]

Det vet du fordi da vil du ha [tex]g^{`}(f(x)) = g^{`}(1)[/tex], som jo er det oppgaven ber deg om å finne. Dessuten har du nå kommet fram til likningen [tex]x(x^4-3x^2+5)=0[/tex]. Du har kommet fram til at [tex]x^4-3x^2+5[/tex] ikke kan være null. Hva kan du da si om [tex]x[/tex]?`

[Thor-André]

Pling sa det! Der falt brikkene på plass!

Mange takk