Page 1 of 1
Deriverte av invers
Posted: 29/11-2009 19:45
by Thor-André
[tex] g(x) [/tex] er inversen til [tex] f(x)= x^5 -3x^3+5x+1[/tex]
Hva er da [tex]\frac{d}{dx}g(1)[/tex]?
Hvordan går man frem for å løse denne oppgaven?
Posted: 29/11-2009 21:14
by FredrikM
Man har en fin regel som sier at
[tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(g(x))}[/tex]
(Siden f(g(x))=x, følger påstanden fra kjerneregelen etter derivasjon på begge sider)
Posted: 29/11-2009 21:16
by Thor-André
Men jeg har jo ikke [tex] g(x) [/tex], må jeg finne den?
Isåfall, hvordan finner jeg den? Klarer ikke å invertere den hvertfall...
Posted: 29/11-2009 21:31
by mrcreosote
Så lenge du bare er interessert i g'(1) trenger du ikke et eksplisitt uttrykk for g(x).
Posted: 29/11-2009 21:37
by Thor-André
Men trenger du ikke verdien til [tex]g(1)[/tex]? Hvordan finner du den?
Posted: 29/11-2009 21:47
by mrcreosote
Hvis du erstatter x med f(x) i FredrikMs formel, og bruker at g(f(x))=x, kan du løse ligninga f(x)=1 med hensyn på x, og så er du nesten i mål.
Posted: 29/11-2009 22:17
by Thor-André
Jeg er dessverre ikke helt med, jeg prøver som du sa:
[tex]g^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(g(x))}[/tex]
[tex]g^\prime(f(x))=\frac{1}{f^\prime(g(f(x)))}[/tex]
[tex]g^\prime(f(x))=\frac{1}{f^\prime(x)}[/tex]
Men hvordan vet du da at du må løse [tex] f(x) = 1[/tex] egentlig?
Uansett, jeg prøver å løse:
[tex] f(x) = 1 \\ x^5 - 3x^3+5x = 0 \\ x(x^4 - 3x^2 + 5 = 0[/tex]
Kan løse denne med ABC, det [tex] x = x^2 [/tex]... Men denne ligningen gir jo ingen løsning?
Posted: 29/11-2009 22:22
by Karl_Erik
Det vet du fordi da vil du ha [tex]g^{`}(f(x)) = g^{`}(1)[/tex], som jo er det oppgaven ber deg om å finne. Dessuten har du nå kommet fram til likningen [tex]x(x^4-3x^2+5)=0[/tex]. Du har kommet fram til at [tex]x^4-3x^2+5[/tex] ikke kan være null. Hva kan du da si om [tex]x[/tex]?`
Posted: 29/11-2009 22:24
by Thor-André
Pling sa det! Der falt brikkene på plass!
Mange takk
