Vise at funksjon er begrenset.

[Betelgeuse]

Det jeg vet om f er at [tex]f: (a,b) \to \mathbb{R}[/tex] er en deriverbar funksjon hvor [tex]a < b[/tex] og jeg skal vise at dersom [tex]f^\prime[/tex] er begrenset så er [tex]f[/tex] det også.

Så lurte jeg på om mitt bevis for dette er holdbart;

Dersom [tex]f^\prime[/tex] er begenset så vet vi at det finnes en K, s.a [tex]|f^\prime (x)|\leq K[/tex]. Da har vi at

[tex]|f^\prime (x)|\leq K \ \ \Leftrightarrow \int |f^\prime (x)| dx \leq \int K dx[/tex]

[tex]|f(x)| \leq Kx + C \leq Kb + C[/tex]

Hvor den siste ulikheten kommer av at x<b. La Q = Kb + C hvor dette er en konstant.

[tex]\Rightarrow |f(x)| \leq Q[/tex]

Og jeg mener dermed jeg har vist at f også er begrenset. Er dette beviset holdbart?

Et ting jeg også lurer på er om [tex]\int |f(x)|dx = |\int f(x) dx|[/tex]?

[Gustav]

Det aller siste gjelder ikke. Betrakter du integralet (til høyre) som en Riemannsum og bruker trekantulikheten får du istedenfor "[tex]=[/tex]" en "[tex]\geq[/tex]"

EDIT: Trekantulikheten: [tex]|x+y|\leq |x|+|y|[/tex]

Ser likevel ut til at beviset ditt stort sett holder, ihvertfall hvis du bruker bestemt integral.

(Det enkleste blir vel noe slikt: La |[tex]f^,|\leq M[/tex]. Anta at f er ubegrenset. For en x i (a,b) fins en y i (a,b) slik at [tex]|f(x)-f(y)|\geq M(b-a)> M|x-y|[/tex], men da fins en c mellom x og y (og derfor i (a,b)) slik at [tex]|f^,(c)|> M[/tex] som er en selvmotsigelse)

[FredrikM]

Moteksempel til sistespørsmålet ditt:
[tex]|\int_{-a}^a x dx|=0[/tex], men [tex]\int_{-a}^a |x| = a^2[/tex]

[Betelgeuse]

Såklart Fredrik.. Burde ha tenkt på den selv

Allright så for å gjøre det vanntett kunne jeg kanskje gjort noe slikt?:

[tex]|f^\prime (x)|\leq K[/tex]

la [tex]x,y \in (a,b)[/tex] s.a [tex]f(y) \leq f(x)[/tex] da er

[tex]|f^\prime (x)|\leq K \ \ \Leftrightarrow \ \ \int_y^x|f^\prime (x)|dx = |f(x)| - |f(y)| \leq \int_y^x K dx = Kx - Ky \leq Kb-Ky[/tex]

[tex]\Rightarrow |f(x)| \leq Kb - Ky + |f(y)|[/tex]

Eller hva sier dere?

Angående beviset ditt plutarco. Hadde du orket å forklare litt om intiusjonen bak akkurat den første ulikheten? Jeg øver meg på å bevise sånne ting, så tar ikke ulikhetene med en gang;)

"For en x i (a,b) fins en y i (a,b) slik at [tex]|f(x)-f(y)|\geq M(b-a) [/tex]"

Du kan jo se om jeg har forstått det:

Er det du sier at det finnes en x og en y i intervallet slik at forrandringen i funksjonsverdien ikke er begrenset av en konstant? Og for å nå frem til motsigelsen setter vi den konsanten til å være M(b-a) og du når frem til denne ved å bruke middelverdisetningen til å vise at det finnes en c der f'(c) er mere enn denne M'en som funksjonen skulle være begrenset av som da er en motsigelse mot at f'(x) skal være begrenset...

[Gustav]

Såklart Fredrik.. Burde ha tenkt på den selv

Allright så for å gjøre det vanntett kunne jeg kanskje gjort noe slikt?:

[tex]|f^\prime (x)|\leq K[/tex]

la [tex]x,y \in (a,b)[/tex] s.a [tex]f(y) \leq f(x)[/tex] da er

[tex]|f^\prime (x)|\leq K \ \ \Leftrightarrow \ \ \int_y^x|f^\prime (x)|dx = |f(x)| - |f(y)| \leq \int_y^x K dx = Kx - Ky \leq Kb-Ky[/tex]

[tex]\Rightarrow |f(x)| \leq Kb - Ky + |f(y)|[/tex]

Eller hva sier dere?

Angående beviset ditt plutarco. Hadde du orket å forklare litt om intiusjonen bak akkurat den første ulikheten? Jeg øver meg på å bevise sånne ting, så tar ikke ulikhetene med en gang;)

"For en x i (a,b) fins en y i (a,b) slik at [tex]|f(x)-f(y)|\geq M(b-a) [/tex]"

Du kan jo se om jeg har forstått det:

Er det du sier at det finnes en x og en y i intervallet slik at forrandringen i funksjonsverdien ikke er begrenset av en konstant? Og for å nå frem til motsigelsen setter vi den konsanten til å være M(b-a) og du når frem til denne ved å bruke middelverdisetningen til å vise at det finnes en c der f'(c) er mere enn denne M'en som funksjonen skulle være begrenset av som da er en motsigelse mot at f'(x) skal være begrenset...

Ja, det stemmer. Velger vi M(b-a) vil det være tilstrekkelig for å vise (via mean value theorem) motsigelsen.

Nå er det egentlig i prinsippet det samme som du har gjort, men det er fremdeles en feil i ditt bevis: Her er slik det burde vært


Velg a<x<y<b . Da er

[tex]||f(y)|-|f(x)||\leq |f(y)-f(x)|=|\int_x^y f^,(z)\,dz |\leq \int_x^y |f^,(z)|\,dz\leq M(y-x)<M(b-a)[/tex]

og f er begrenset.