Varierende spørsmål

[Nebuchadnezzar]

Har en del spørsmål om forskjellige ting innen matematikk som hadde vært greit å få svar på ^^

1) Om man har to funksjoner f(x) og g(x) kan man finne den lengste horisontale linjen mellom funksjonene ved å løse (f(x)-g(x))'

Hvordan finner man eventuelt den lengste vertikale linjen mellom funksjonene ?

2) Om man har en funksjon som ser slik ut[tex] f(x)=-2^{2x} + 5\cdot2^x - 4[/tex]
Å løse denne funksjonen går fint, men hvordan finner man den deriverte til funksjonen, eventuelt toppunktet. Bruker man fortsatt subsidusjon ?

3) En funksjon er gitt ved [tex]x^3-bx+c.[/tex]
Arealet under grafen mellom funksjonens to nullpunkter er [tex]\frac{27}{4}[/tex] Bestem [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex].
Hvordan I huleste går man frem her...

Det var vell det...

[Audunss]

2)

Du bruker vell bare formelen for den deriverte av funksjoner på formen a^x, altså (a^x)'=a^x*ln(a). Bruker kjerneregelen på kjernen 2x.

3)

Har ikke prøvd meg frem, først skal det være en tredjegangsfunksjon, for det gjør det noe vanskeligere, og ikke sikkert det bare er 2 nullepunkter da.

Ville funnet et uttryk for nullpunktene, så tatt integralet til uttryket og satt grensene til de to nullpunktene og satt dette integralet lik 27/4.

[FredrikM]

1)
Ja. Forklar deg selv hvorfor. Når det kommer til den vertikale avstanden, så må du forklare hva du mener med en "vertikal avstand" mellom to funksjoner.

3)

Du vet hva integralet mellom nullpunktene er. For meg ser det ut som om du må finne det bestemte integralet av funksjonen mellom nullpunktene (hvordan du finner nullpunktene, vet jeg ikke - kanskje referer boken til løsningsformelen for tredjegradslikningen), og så løse en likning med to ukjente.

[Gustav]

1)
Ja. Forklar deg selv hvorfor. Når det kommer til den vertikale avstanden, så må du forklare hva du mener med en "vertikal avstand" mellom to funksjoner.

Nå er det vel den vertikale avstanden som er gitt ved |f(x)-g(x)| siden det er vanlig å tegne y-aksen vertikalt. Da vil man måtte løse [tex]|f(x)-g(x)|^,=0[/tex] for å finne ekstremalpunktene.

Horisontal avstand er vel mulig å definere dersom f og g er invertible (og kontinuerlige).

[Solar Plexsus]

3) Ettersom tredjegradspolynomet, la oss kalle det [tex]p(x)[/tex], har to reelle nullpunkt, må også det tredje nullpunktet være reelt. I.o.m. at [tex]p[/tex] bare har to ulike nullpunkt [tex]x=m[/tex] og [tex]x=n[/tex], må likningen [tex]p(x) = 0[/tex] ha en dobbeltrot [tex]x=m[/tex]. M.a.o. er

[tex](1) \;\; p(x) = (x - m)^2(x - n) = x^3 - (2m+n)x^2 + (m^2 + 2mn)x - m^2n.[/tex]

Nå er [tex]p(x) = x^3 - bx + c[/tex], hvilket betyr at [tex]b = 2m+n = 0[/tex], dvs. at [tex]n = -2m[/tex]. Innsatt i (1) gir dette

[tex](2) \;\; p(x) = x^3 - 3m^2x + 2m^3.[/tex]

Formuleringen "arealet under grafen mellom funksjonens to nullpunkter" må tolkes dithen at grafen (når vi beveger oss oppover x-aksen) først krysser x-aksen i [tex]x = -2m[/tex] og deretter tangerer x-aksen i [tex]x = m.[/tex] Så [tex]p(x) > 0[/tex] når [tex]-2m < x < m[/tex], som igjen betyr at [tex]m > 0[/tex]. Følgelig blir arealet av nevnte område lik det bestemte integralet

[tex]\int_{-2m}^m \: x^3 - 3m^2x + 2m^3\, dx \: = \: \Big[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3m^2}{2}x^2 + 2m^3x\Big]_{-2m}^m \: = \: \frac{27}{4}m^4.[/tex]

I.o.m. at dette arealet er 27/4, må [tex]m^4 = 1.[/tex] Eneste positive løsning av denne likningen er [tex]m = 1[/tex]. Denne verdien innsatt i likningen (2) gir

[tex]p(x) = x^3 -3x^2 + 2,[/tex]

noe som innebærer at [tex]b = 3[/tex] og [tex]c = 2[/tex].

[Realist1]

Dette er pent.

[Nebuchadnezzar]

Solar plexus den løsningen der var virkelig pen, skrev fort ned så hadde en del slurvete definisjoner.

På 1) mente jeg den lengste rette linjen vi kan plassere mellom to funksjoners skjæringspunkt, parallelt med x aksen...

Vertikal avstand mener jeg den lengste avstandel mellom to funksjoners krysningspunkt, parallel med y aksen.

Etter å ha lekt meg litt med å tegne grafer, virker det som den vertikale avstanden alltid er størst i et av krysningspunktene til funksjonene.

Eksempel

[tex]f(x) = x^2 - 4[/tex] og [tex]g(x) = x+2[/tex]

[tex](f(x)-g(x))^{\prime} = 2x - 1 [/tex]

Lengste horisontale avstand blir[tex] \frac{25}{4}[/tex] og vertikal avstand blir [tex]4[/tex]

2) Her tenkte jeg at vi kunne sette 2^x = u, blir dette feil med tanke på den deriverte ?

Hva jeg fikk når jeg brukte 2^x=u for å finne toppunktet.

[tex] f(x) = - {2^{2x}} + 5\cdot{2^x} - 4 [/tex]

[tex] u = {2^x}[/tex]

[tex] f(x) = - {u^2} + 5u - 4 [/tex]

[tex] f^{\prime}(x) = - 2u + 5 [/tex]

[tex] f^{\prime}\left( x \right) = - 2 \cdot {2^x} + 5 [/tex]

[tex] u = \frac{5}{2} [/tex]

[tex] x = \frac{{in\left( 5 \right) - in\left( 2 \right)}}{{in\left( 2 \right)}} [/tex]

[tex] Toppunkt\left( {\frac{{in\left( 5 \right) - in\left( 2 \right)}}{{in\left( 2 \right)}},\frac{9}{4}} \right) [/tex]

Ved å bruke kjerneregelen osv får jeg at

[tex]f^{\prime}(x)=- 2 \cdot {2^{(2x)}} \cdot ln(2) + 5 \cdot {2^x} \cdot ln(2)[/tex]

Som gir at [tex]x= -\frac{ln(2/5)}{in(2)}[/tex]

Hva er riktig, og eventuelt hva mister jeg ved å bruke subsitusjon ?

3) Den løsningen der var virkelig pen, litt over mitt hodet. Men du fortjener fortsatt masse skryt for den. ^^

[Realist1]

I oppgaven din, så deriverer du med hensyn på x. Når du substituerer 2[sup]x[/sup] med u, og deretter deriverer, så deriverer du med hensyn på u. Derfor blir ikke dette riktig. Den siste, der du bruker kjerneregelen, er altså den riktige. Her bruker du korrekte derivasjonsregler og deriverer mhp x, som du skal. Har ikke kontrollert at du har regnet riktig, men så kjapt over fremgangsmåten.

[Nebuchadnezzar]

Da har jeg prøvd meg på en lignende oppgave som 3. HAr kommet et stykke på veien, men klarer ikke å komme helt i mål.

Funksjonen f(x) har to nullpunker. Bestem b og c slik at arealet under grafen til f(x) mellom funksjonens to nullpunkter blir 108.

[tex] f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx - 49 [/tex]

[tex] \left( {x - n} \right){\left( {x - m} \right)^2} = 0 [/tex]

[tex] f\left( x \right) = {x^3} + \left( {2m + n} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2mn} \right)x - {m^2}n [/tex]

[tex] - {m^2}n = - 49 [/tex]

[tex] n = \frac{{49}}{{{m^2}}} [/tex]

[tex] \left( {x - \frac{{49}}{{{m^2}}}} \right){\left( {x - m} \right)^2} = {x^3} - 2{x^2}m + x{m^2} - \frac{{49{x^2}}}{{{m^2}}} + \frac{{98x}}{m} - 49 [/tex]

[tex] {x^3} - 2{x^2}m + x{m^2} - \frac{{49{x^2}}}{{{m^2}}} + \frac{{98x}}{m} - 49 [/tex]

[tex] {x^3} - {x^2}\left( {\frac{{2{m^3} + 49}}{{{m^2}}}} \right) + x\left( {\frac{{{m^3} + 98}}{m}} \right) - 49 [/tex]

[tex] {x^3}{m^2} - {x^2}\left( {2{m^3} + 49} \right) + x\left( {98m + {m^4}} \right) - 49{m^2} [/tex]

Med litt prøving of feiling ser jeg at riktig svar her er m=7 som gir

[tex]x^3-15x^2+63x-49[/tex] altså er b=-15 og c=63

Men når jeg tar integralet og setter grensene roter ting seg til.

[tex] \int\limits_{ - m}^{ - \frac{{49}}{{{m^2}}}} {{x^3}{m^2} - 2{x^2}{m^3} + x{m^4} - 49{x^2} + 98mx - 49{m^2}}[/tex]

[tex] \left[ {\frac{1}{4}{x^2}{m^2} - \frac{2}{3}{x^3}{m^3} + \frac{1}{2}{x^2}{m^4} - \frac{{49}}{3}{x^3} + 49{x^2}m - 49x{m^2}} \right]_{ - m}^{ - \frac{{49}}{{{m^2}}}} [/tex]

[tex] - \frac{{3{m^6}}}{4} + \frac{{40353607}}{{12{m^6}}} - \frac{{2{m^5}}}{3} + \frac{{235298}}{{3{m^4}}} - \frac{{243{m^3}}}{3} + \frac{{117649}}{{{m^3}}} + \frac{{7203}}{2} = 108 [/tex]

Løser jeg denne får jeg ikke 7 som svar noen som har noen til tips til hvor jeg har gjort feil ? Kanskje grensene mine er feil...