Stor Brøkoppspalting...

30/12-2009 22:07

Hei hei Alle sammen... Igjen har jeg litt problemer. På et litt annet plan

Føler jeg har snart taket på brøkoppspalting, men noen ganger tar det lang tid... Noen som vil dele hvordan de ville utført brøkoppspalting på dette stykket her ?

[tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^4} - 5{x^3} + 6}}{{{x^5} - 5{x^3} + 4x}} [/tex]

WolframAlpha foreslo å sette opp et likningsett med 5
ukjente, og løse det med matriser. Men jeg er ikke så stødig i store ligningsett og kan heller ikke så flink med matriser...

Her er uansett hvordan jeg løste det. Tok en stund men fikk riktig svar

[tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^4} - 5{x^3} + 6}}{{{x^5} - 5{x^3} + 4x}} [/tex]

[tex] TELLER \\\\ g\left( x \right) = {x^5} - 5{x^3} + 4x [/tex]

[tex] g\left( x \right) = x\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right) [/tex]

[tex] u = {x^2} [/tex]

[tex] g\left( x \right) = x\left( {u - 1} \right)\left( {u - 4} \right) [/tex]

[tex] {x^2} - 1 = 0 \, \Rightarrow x \, = \pm 1 [/tex]

[tex] {x^2} - 4 = 0 \, \Rightarrow x = \, \pm 2 [/tex]

[tex] g\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) [/tex]

[tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^4} - 5{x^3} + 6}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} [/tex]

[tex] \frac{{{x^4} - 5{x^3} + 6}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x - 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{D}{{\left( {x - 2} \right)}} + \frac{E}{{\left( {x + 2} \right)}} [/tex]

[tex] = A\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + B\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)x + C\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)x + D\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)x + E\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)x [/tex]

[tex] x = 0 [/tex]

[tex] {0^4} - 5 \cdot {0^3} + 6 = A\left( {0 - 1} \right)\left( {0 + 1} \right)\left( {0 - 2} \right)\left( {0 + 2} \right) + 0B + 0C + 0D + 0E [/tex]

[tex] 6 = 4A [/tex]

[tex] \underline {A = \frac{2}{3}} [/tex]

[tex] x = 1 [/tex]

[tex] {1^4} - 5 \cdot {1^3} + 6 = 0A + B\left( {1 + 1} \right)\left( {1 - 2} \right)\left( {1 + 2} \right)1 + 0C + 0D + 0E [/tex]

[tex] 2 = - 6B [/tex]

[tex] \underline {B = - \frac{1}{3}} [/tex]

[tex] x = - 1[/tex]

[tex] {\left( { - 1} \right)^4} - 5{\left( { - 1} \right)^3} + 6 = 0A + 0B + C\left( { - 1 - 1} \right)\left( { - 1 - 2} \right)\left( { - 1 + 2} \right)\left( { - 1} \right) + 0D + 0E [/tex]

[tex] 12 = - 6C [/tex]

[tex] \underline {C = - 2} [/tex]

[tex] x = 2 [/tex]

[tex] {2^4} - 5 \cdot {2^3} + 6 = 0A + 0B + 0C + D\left( {2 - 1} \right)\left( {2 + 1} \right)\left( {2 + 2} \right)2 + 0E [/tex]

[tex] - 18 = 24D [/tex]

[tex] \underline {D = - \frac{3}{4}} [/tex]

[tex] x = - 2 [/tex]

[tex] {\left( { - 2} \right)^4} - 5 \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + 6 = 0A + 0B + 0C + 0D + E\left( { - 2 - 1} \right)\left( { - 2 + 1} \right)\left( { - 2 - 2} \right)\left( { - 2} \right) [/tex]

[tex] 16 + 40 + 6 = 24E [/tex]

[tex] \underline {E = \frac{{31}}{{12}}} [/tex]

[tex] A = \frac{2}{3} \, , \, B = - \frac{1}{3} \, , \, C = - 2 \, , \, D = - \frac{3}{4} \, , \, E=\frac{{31}}{{12}} [/tex]

[tex]\, \frac{{{x^4} - 5{x^3} + 6}}{{{x^5} - 5{x^3} + 4x}} \, = \, \frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x - 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{D}{{\left( {x - 2} \right)}} + \frac{E}{{\left( {x + 2} \right)}} \, [/tex]

[tex]\, \frac{{{x^4} - 5{x^3} + 6}}{{{x^5} - 5{x^3} + 4x}}\, =\, \frac{2}{{3x}} - \frac{1}{{3\left( {x - 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {x + 1} \right)}} - \frac{3}{{4\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{31}}{{12\left( {x + 2} \right)}} [/tex]

drgz · 31/12-2009 12:26

Hvis du ser på det du gjør kan du "forenkle" arbeidet ved å kun se på
[tex]\lim_{x\to a}(x-a)\cdot f(x)[/tex], dvs at du slipper å sette alt på felles brøkstrek.

Med andre ord stopper du ved

[tex] \frac{{{x^4} - 5{x^3} + 6}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x - 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{D}{{\left( {x - 2} \right)}} + \frac{E}{{\left( {x + 2} \right)}} [/tex]

og analyserer

[tex]A = \lim_{x\to\0}x\cdot f(x), \quad \rightarrow A = \frac32[/tex]
[tex]B = \lim_{x\to\1}(x-1)\cdot f(x) \quad \rightarrow B = -\frac13[/tex]
osv.

Du vil fort se at når du evaluerer den første grenseverdien, [tex]x\to0[/tex], så vil alle ledd på høyresiden utenom leddet som inneholder A bli lik null (f.eks [tex]\frac{xB}{x-1}=0[/tex] når [tex]x\to0[/tex]). Dermed vil du sitte igjen med A = venstresiden. Og slik gjør du for alle "polene" som finnes i uttrykket ditt.

Du kan lese mer om dette her. Er neppe pensum før på universitetsnivå, men artig å lære seg.

Ellers kommer du ikke unna faktorisering av nevneren når du skal delbrøksoppspalte et uttrykk, så da er det bare å gjøre unna den delen på enklest mulig måte. Det å finne konstantene går fort unna.

31/12-2009 15:08

Tusen takk, det gjorde ting litt lettere

Men noen tips til en lett måte å faktorisere nevneren på ? Polynomdivisjon gjentatte ganger er slitsomt.

Vis at
[tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{x^6} - 12{x^5} + 57{x^4} - 134{x^3} + 156{x^2} - 72x}} [/tex]
kan skrives om til [tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} [/tex]
og del opp brøken

[tex] x{\left( {x - 2} \right)^3}{\left( {x - 3} \right)^2}[/tex]

[tex] g\left( x \right) = {x^6} - 12{x^5} + 57{x^4} - 134{x^3} + 156{x^2} - 72x [/tex]

[tex] g\left( x \right) = x\left( {{x^5} - 12{x^4} + 57{x^3} - 134{x^2} + 156x - 72} \right) [/tex]

[tex] g\left( 3 \right) = {\left( 3 \right)^5} - 12{\left( 3 \right)^4} + 57{\left( 3 \right)^3} - 134{\left( 3 \right)^2} + 156\left( 3 \right) - 72 [/tex]

[tex] g\left( 3 \right) = 243 - 972 + 1539 - 1206 + 468 - 72 [/tex]

[tex] g\left( 3 \right) = 0 [/tex]

Polynomdivisjon...

[tex] g\left( x \right) = x\left( {{x^4} - {\rm{ }}9{x^3} + 30{x^2} - {\rm{ }}44x{\rm{ }} + {\rm{ }}24} \right)\left( {x - 3} \right) [/tex]

[tex] g\left( 3 \right) = {\left( 3 \right)^4} - 9{\left( 3 \right)^3} + 30{\left( 3 \right)^2} - 44\left( 3 \right) + 24 [/tex]

[tex] g\left( 3 \right) = 81 - 243 + 270 - 132 + 24 [/tex]

[tex] g\left( 3 \right) = 0 [/tex]

Polynomdivisjon

[tex] g\left( x \right) = x{\left( {x - 3} \right)^2}\left( {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \right) [/tex]

[tex] {x^3} - 2 \cdot 3{x^2} + {2^2} \cdot 3 \cdot {x^1} - {8^3} \cdot {x^0} [/tex]

Bruker pascals trekant tredje linje

[tex]x^3+3bx^2 +3b^2x+b^3[/tex]

I dette tilfellet er [tex]b=2 [/tex]og dermed er [tex]\left( {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \right) \, = \, (x-2)^3[/tex]

[tex] g\left( x \right) = x{\left( {x - 3} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3} [/tex]

[tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{x^6} - 12{x^5} + 57{x^4} - 134{x^3} + 156{x^2} - 72x}}[/tex]

[tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} [/tex]

[tex] \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x - 3} \right)}} + \frac{C}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \frac{D}{{\left( {x - 2} \right)}} + \frac{F}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{E}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} [/tex]

Er siste linjen riktig ?

-------------------------------------------------------

EDIT, sigh fant en lettere måte.

Viss vi antar at alle røttene til [tex]g(x)[/tex] er reelle , betyr det at alle er røttene er delige med konstantleddet.

I dette tilfellet er konstantleddet [tex]72.[/tex]
(Etter at vi faktoriserer ut løsningen [tex]x=0[/tex].)

Faktoriserer vi [tex]72[/tex] får vi [tex]3^2 \cdot 2^3[/tex]
72 er negativ som betyr at enten må [tex]3^2[/tex] eller [tex]2^3[/tex] være negativ.

[tex](-3)^2[/tex] er positivt mens [tex](-2)^3[/tex] er negativ.

Dermed er:

[tex] g\left( x \right) = {x^6} - 12{x^5} + 57{x^4} - 134{x^3} + 156{x^2} - 72x \, = \, x(x-3)^2(x-2)^3[/tex]

-----------------------------------------------

EDIT2 Komm litt videre ^^

[tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} [/tex]

[tex] f\left( x \right) = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} [/tex]

[tex] f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 4} \right)}}{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}[/tex]

[tex] \frac{{\left( {x + 4} \right)}}{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{\left( {x - 3} \right)}} + \frac{C}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} + \frac{D}{{\left( {x - 2} \right)}} + \frac{E}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}[/tex]

[tex] x \cdot f\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [/tex]

[tex] \frac{{\left( {0 + 4} \right)}}{{{{\left( {0 - 3} \right)}^2}{{\left( {0 - 2} \right)}^2}}} = A [/tex]

[tex] A = \frac{1}{9} [/tex]

[tex] \left( {x - 3} \right) \cdot f\left( x \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [/tex]

Om jeg setter [tex](x-3) f(x)[/tex] så får jeg to uttrykk, hva gjør jeg nå?