Begynner med å skrive opp de første deriverte for å se et mønster...Finn den [tex]n[/tex]`te integrerte og den [tex]n[/tex]`te deriverte til [tex]f(x) = 2^x x^2 [/tex]
[tex] f\left( x \right) = {2^x}{x^2} [/tex]
[tex] f^{\prime}\left( x \right) = {2^x}\ln (2){x^2} + 2 \cdot {2^x}x [/tex]
[tex] f^{\prime{\prime}}\left( x \right) = {2^x}\ln {(2)^2}{x^2} + 4 \cdot {2^x}\ln (2)x + 2 \cdot {2^x} [/tex]
[tex] f^{\prime{\prime}{\prime}}\left( x \right) = {2^x}\ln {(2)^3}{x^2} + 6 \cdot {2^x}\ln {(2)^2}x + 6 \cdot {2^x}\ln (2) [/tex]
[tex] {f^4}\left( x \right) = {2^x}ln{(2)^4}{x^2} + 8 \cdot {2^x} \cdot \ln {(2)^3}x + 12 \cdot {2^x}\ln {(2)^2} [/tex]
[tex] {f^5}\left( x \right) = {2^x}\ln {(2)^5}{x^2} + 12 \cdot {2^x} \cdot \ln {(2)^4}x + 20 \cdot {2^x} \cdot \ln {(2)^3} [/tex]
Prøver meg på en frekkis og lager en funksjon. Stemmer dette, eventuelt kunne noen si meg hvor har jeg gjort feil ? Ting skurrer litt for den første og andre deriverte...
[tex]{f^n}\left( x \right) = {2^x}\ln {(2)^n}{x^2} + 2n \cdot {2^x}\ln {(2)^{(n - 1)}}x + ({n^2} - 2n + n){2^x}\ln {(2)^{(n - 2)}}[/tex]
Da er det den integrete sin tur, skriver opp de første leddene.
[tex] \int\limits_{}^1 {f\left( x \right) = \frac{{\left( {2 - 2\ln \left( 2 \right)x + {x^2}\ln {{\left( 2 \right)}^2}} \right){2^x}}}{{\ln {{(2)}^3}}}} [/tex]
[tex] \int\limits_{}^2 {f\left( x \right) = \frac{{\left( {6 - 4\ln \left( 2 \right)x + {x^2}\ln {{\left( 2 \right)}^2}} \right){2^x}}}{{\ln {{(2)}^4}}}} [/tex]
[tex]\int\limits_{}^n {f\left( x \right) = \frac{{\left( {{n^2} + n - 2n \cdot \ln \left( 2 \right)x + {x^2}\ln {{\left( 2 \right)}^2}} \right){2^x}}}{{\ln {{(2)}^{n + 2}}}}} [/tex]
Prøver meg å lage en funksjon her og, ikke like vanskelig...
[tex] \int\limits_{}^n {f\left( x \right) = \frac{{\left( {({n^2} + n) - 2n \cdot \ln \left( 2 \right)x + {x^2}\ln {{\left( 2 \right)}^2}} \right){2^x}}}{{\ln {{(2)}^{n + 2}}}}} [/tex]
