Banelengde

[gabel]

Er det noe måte en kan gå grem får og finne lengen på en bane, feks

[tex]f(x)=-x^2+9[/tex]

Hvor lang er banen mellom nullpunktene til funksjonen?

[espen180]

Har du lært om integraler?

La banen være beskrevet av vektoren

[tex]\vec{p}=[t,-t^2+9][/tex]

Fartsvektoren er da

[tex]\frac{d}{dt}\vec{p}=\vec{v}=[1,-2t][/tex]

Og banelengden mellom to punkter t=a og t=b er gitt ved

[tex]s=\int_a^b |\vec{v}|dt[/tex]

[Janhaa]

Er det noe måte en kan gå grem får og finne lengen på en bane, feks
[tex]f(x)=-x^2+9[/tex]
Hvor lang er banen mellom nullpunktene til funksjonen?

eller sånn;

[tex]L=\int_{-3}^{3}\sqrt{1\,+\,(f^,(x))^2}\,dx[/tex]

[gabel]

Er det noe måte en kan gå grem får og finne lengen på en bane, feks
[tex]f(x)=-x^2+9[/tex]
Hvor lang er banen mellom nullpunktene til funksjonen?

eller sånn;

[tex]L=\int_{-3}^{3}\sqrt{1\,+\,(f^,(x))^2}\,dx[/tex]

Kan du utlede litt mer hvorfor det blir slik?

[Janhaa]

titt på denne...

http://www.realisten.com/artikkel.php?id=117

der

[tex]\int\sqrt{dx^2\,+\,dy^2}=\int \sqrt{dx^2(1+({dy\over dx})^2)}=\int\sqrt{1+(f^,(x))^2}\,dx[/tex]

[gabel]

Takk takk

[Nebuchadnezzar]

Prøvde meg på et frekt dristig løsningsforslag, men kan noen si meg hvordan jeg regner ut integralet ? Måtte tilslutt bare gi opp og plotte det inn på wolfram... Fant ingen god subsitusjon.


[tex] B\left( x \right) = \int {\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} } [/tex]

[tex] B\left( x \right) = \int {\sqrt {1 + {{\left( {\left( { - {x^2} + 9} \right)'} \right)}^2}} }[/tex]

[tex] B\left( x \right) = \int {\sqrt {1 + {{\left( { - 2x} \right)}^2}} }[/tex]

[tex]B\left( x \right) = \int {\sqrt {1 + 4x^{2}} } [/tex]

[tex]B\left( x \right) = \frac{1}{2}x\sqrt {4{x^2} + 1} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {4{x^2} + 1} + 2x} \right)[/tex]


[tex] B\left( 3 \right) = \frac{1}{2}3\sqrt {4 \cdot {3^2} + 1} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {4 \cdot {3^2} + 1} + 2 \cdot 3} \right) [/tex]

[tex] B\left( 3 \right) = \frac{3}{2}\sqrt {37} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {37} + 6} \right) [/tex]


[tex] B\left( { - 3} \right) = \frac{1}{2} - 3\sqrt {4 \cdot {3^2} + 1} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {4 \cdot {3^2} + 1} + 2 \cdot 3} \right) [/tex]

[tex] B\left( { - 3} \right) = - \frac{3}{2}\sqrt {4{{\left( { - 3} \right)}^2} + 1} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {4{{\left( { - 3} \right)}^2} + 1} + 2\left( { - 3} \right)} \right) [/tex]

[tex] B\left( { - 3} \right) = - \frac{3}{2}\sqrt {37} + \frac{1}{4}\ln \left( { - 6 + \sqrt {37} } \right) [/tex]


[tex] B\left( 3 \right) - B\left( { - 3} \right) = \frac{3}{2}\sqrt {37} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {37} + 6} \right) + \frac{3}{2}\sqrt {37} - \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {37} - 6} \right) [/tex]

[tex] B\left( 3 \right) - B\left( { - 3} \right) = 3\sqrt {37} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {37} + 6} \right) - \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {37} - 6} \right) [/tex]


[tex]\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {1 + {{\left( {f^{\prime}\left( x \right)} \right)}^2}} } = 3\sqrt {37} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {37} + 6} \right) - \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt {37} - 6} \right)[/tex]

[Janhaa]

="Nebuchadnezzar"men kan noen si meg hvordan jeg regner ut integralet ? Måtte tilslutt bare gi opp og plotte det inn på wolfram... Fant ingen god subsitusjon.

[tex]B\left( x \right) = \int {\sqrt {1 + 4x^{2}} } [/tex]

sett
[tex]x = 0,5\sinh(u)[/tex]

[tex]B\left( x \right) = {1\over 2}\int {\sqrt {1 + \sinh^2(u)} }\cosh(u)\,du={1\over 2}\int \cosh^2(u)\,du \,=\,{1\over 2}\left({1\over 4}\sinh(2u)\,+\,{u\over 2}\right)\,+\,C [/tex]

[gabel]

Fant en annen side som det sto litt om dette

http://www.ansatte.hitos.no/bjoern/jobb ... lengde.PDF

og der henger jeg med til

Dette kan omformes til
[tex]ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}} = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx[/tex]

[/code]

Hvorfor blir 1+(dy/dx)^2 under rottegnet?

[Markonan]

Kan det være slik:

[tex]\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} = [/tex]

[tex]\sqrt{(1+\frac{(dy)^2}{(dx)^2})(dx)^2} = [/tex]

[tex]\sqrt{1+\frac{(dy)^2}{(dx)^2}}\sqrt{(dx)^2} = [/tex]

[tex]\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx[/tex]