Hei! Oppgaven min lyder som følgende
Bevis når [tex]f(n)\,=\,n^8 - 9 + n[/tex] er dellig med [tex]3, 7, 9... [/tex]
Tenker at jeg må finne en generell formel som gir meg når f(n er for eksempel dellig med 3. Fant dette ganske vanskelig.
Enda vanskeligere å bevise formelen man har kommet fremt il med induksjon...
Så har noen, noen hjelpende spark i baken ?
Sjekke delighet, og bevise ved induskjon
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Vet at man ikke skal dobbelposte men ting ser litt finere ut på denne måten... Har begynnt å bevise delighet med 3, men det er vanskelig.
[tex] f\left( n \right) = {n^8} - 9 + n [/tex]
Setter inn 2k for å prøve å se hvilke partall som gjør at f(x) er dellig på 3
[tex] f\left( {2k} \right) = {\left( {2k} \right)^8} - 9 + \left( {2k} \right) [/tex]
[tex] f\left( {2k} \right) = 256{k^8} - 9 + 2k [/tex]
[tex] f\left( {2k} \right) = 2k\left( {156{k^7} + 2k} \right) - 9 [/tex]
Her ser vi at åpenbart 2k er et partall, og dermed må også det inne i klammene være et partall. Da får vi et partall minus et oddetall, som gir et oddetall. Hvert tredje oddetall er dellig med [tex]3[/tex]. Som gir at hvert tredje partall i funksjonen er dellig med 3. Det betyr at hvert 6 tall er dellig med 3.
Om vi putter inn [tex]0[/tex] i den opprinnelige likningen ser vi at dette blir -9 som åpenbart er dellig med [tex]3[/tex]
[tex]3\left( {2k} \right) = 6k [/tex]
Dermed vil funksjonen [tex]g(k)=6k[/tex] generere tall som gjør at [tex]f(n)[/tex] er dellig på 3
[tex]f\left( n \right) = {n^8} - 9 + n [/tex]
[tex] f\left( {2k + 1} \right) = {(2k + 1)^8} - 8 + 2k[/tex]
Her ser vi at den første parantesen blir et oddetall, mens de to neste tallene blir et partall. Da får vi et oddetall, sjekker for en og finner ut at 1 er et oddetall og det er dellig på 3.
[tex]3(2k+1)=6k+1 [/tex]
[tex]\frac{{{n^8} - 9 + n}}{3} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = par{\rm{ }}6k\\n = odd{\rm{ }}6k + 1 \\ \end{array} \right\}[/tex]
[tex] f\left( n \right) = {n^8} - 9 + n [/tex]
Setter inn 2k for å prøve å se hvilke partall som gjør at f(x) er dellig på 3
[tex] f\left( {2k} \right) = {\left( {2k} \right)^8} - 9 + \left( {2k} \right) [/tex]
[tex] f\left( {2k} \right) = 256{k^8} - 9 + 2k [/tex]
[tex] f\left( {2k} \right) = 2k\left( {156{k^7} + 2k} \right) - 9 [/tex]
Her ser vi at åpenbart 2k er et partall, og dermed må også det inne i klammene være et partall. Da får vi et partall minus et oddetall, som gir et oddetall. Hvert tredje oddetall er dellig med [tex]3[/tex]. Som gir at hvert tredje partall i funksjonen er dellig med 3. Det betyr at hvert 6 tall er dellig med 3.
Om vi putter inn [tex]0[/tex] i den opprinnelige likningen ser vi at dette blir -9 som åpenbart er dellig med [tex]3[/tex]
[tex]3\left( {2k} \right) = 6k [/tex]
Dermed vil funksjonen [tex]g(k)=6k[/tex] generere tall som gjør at [tex]f(n)[/tex] er dellig på 3
[tex]f\left( n \right) = {n^8} - 9 + n [/tex]
[tex] f\left( {2k + 1} \right) = {(2k + 1)^8} - 8 + 2k[/tex]
Her ser vi at den første parantesen blir et oddetall, mens de to neste tallene blir et partall. Da får vi et oddetall, sjekker for en og finner ut at 1 er et oddetall og det er dellig på 3.
[tex]3(2k+1)=6k+1 [/tex]
[tex]\frac{{{n^8} - 9 + n}}{3} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = par{\rm{ }}6k\\n = odd{\rm{ }}6k + 1 \\ \end{array} \right\}[/tex]