matematikk.net

Hei hei! Nå trenger jeg litt hjelp.

Jeg hjalp en venn med induksjonsoppgavene i Kalkulus, men jeg fikk plutselig litt problemer på den ene oppgaven. Litt pinlig for det "store mattegeniet".

Uansett!

Oppgave.
Vis ved induksjon at
[tex]2^{n+2} + 3^{2n+1}[/tex] er delelig med 7 [tex]\forall n\in\mathbb{N}[/tex].

Det jeg har gjort:
Ser på tilfellet n=1.
[tex]P_1: 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35 = 7\cdot5[/tex].

Det er altså sant for P[sub]1[/sub]. Antar det er sant for P[sub]k[/sub] og viser at
[tex]P_{k}\Rightarrow P_{k+1}[/tex]

[tex]P_{k+1}:\;2^{k+3} + 3^{2k+3}[/tex]

Her stopper det opp!
Jeg ser ikke hvordan jeg kan dele opp dette så jeg kan bruke induksjonshypotesen P[sub]k[/sub]. Regner med det er et fiffig lite knep jeg enten ikke ser, eller i verste fall ikke kan.

Et lite hint videre mottas med takk!

Hint: [tex]3^2\equiv 2 (mod(7))[/tex]

Hvis du bruker modulo regning blir problemet omformet slik:

La [tex]P_k\equiv 0 (mod(7))[/tex], og vis at da følger at [tex]P_{k+1}\equiv 0 (mod(7))[/tex]

Bruk så hintet fra forrige post til å vise den siste ekvivalensen.

Supert! Takk for svar. <3

Har ikke så mye erfaring med det der, men skal lese litt om det.

Om du ikke bruker modulo regning, går vell dette

[tex]P_{k+1}:\;2^{k+3} + 3^{2k+3} [/tex]

[tex]P_{k+1}:\;2*2^{k+2} + 9*3^{2k+1} [/tex]

[tex]P_{k+1}:\;2*(2^{k+2} + 3^{2k+1})+7*3^{2k+1} [/tex]

Aaah! Der var den ja.

Takk for svar!