Funksjoner 3, tangenter

07/02-2010 16:55

Sliter litt med tangenter og slikt ^^

En funksjon er gitt ved [tex]f(x)=x^5-5x^3+4x[/tex]
a) Finn nullpunktene til funksjonen
b) Finn eventuelle topp og bunnpunkter
c) Finn vendepunktene og vendetangentene
d) Finn alle tangentene med stigningstall [tex]4[/tex]

e) Finn hvilke stigningstall [tex]f(x)[/tex] har:
1) Ingen tangenter
2) To tangenter
3 Tre tangenter
4) Fire tangenter

f) En linje er gitt ved [tex]y=ax-a[/tex]
For hvilke verdier av [tex]a[/tex] skjærer linja y, f(x) i tre punkter?

Vet at jeg skal vise hva jeg har gjort hittil, men sliter egentlig menst med å begynne. a) og b) går fint. Og jeg tror jeg har klart c)
resten står jeg bomfast på. Noen som kan dytte meg i riktig retning ?

gabel · 07/02-2010 17:12

d) Finn alle tangentene med stigningstall 4

Siden du har funnet topp- og bunnpunkter er akkurat det samme du gjør her, bare at når du finner topp/bunn punker setter du dem lik 0 siden stigningstallet er nul i ett slik punkt.

Derfor blir det

f'(x)=4

07/02-2010 17:22

Takk for hjelpen, tror kanskje jeg har en idè om hvordan jeg løser resten og ^^

Oppgave a)

[tex] f\left( x \right) = {x^5} - 5{x^3} + 4x [/tex]

[tex] f\left( x \right) = x\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right) [/tex]

[tex] u = {x^2} [/tex]

[tex] f\left( x \right) = x\left( {{u^2} - 5u + 4} \right) [/tex]

[tex] f\left( x \right) = x\left( {u - 1} \right)\left( {u - 4} \right)[/tex]

[tex] f\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) [/tex]

[tex] f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) [/tex]

[tex] \underline{\underline {x = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = 1{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = 2{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = - 1{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = - 2}} [/tex]

Oppgave b)

[tex] f\left( x \right) = {x^5} - 5{x^3} + 4x [/tex]

[tex] f^{\prime}\left( x \right) = 5{x^4} - 15{x^2} + 4 [/tex]

[tex] u = {x^2} [/tex]

[tex] f^{\prime}\left( x \right) = 5{u^2} - 15u + 4 [/tex]

[tex] u = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 15} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 15} \right)}^2} - 4\left( 5 \right)\left( 4 \right)} }}{{2\left( 5 \right)}} = \frac{{15 \pm \sqrt {145} }}{{10}} [/tex]

[tex] x = \pm \sqrt {\frac{{15 \pm \sqrt {145} }}{{10}}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {Toppunkt{\rm{ }}\left( {\sqrt {\frac{{15 - \sqrt {145} }}{{10}}} ,\frac{1}{{50}}\sqrt {150 - 10\sqrt {145} } - \frac{1}{{50}}\sqrt {150 - 10\sqrt {145} } \sqrt {145} } \right)}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {Toppunkt{\rm{ }}\left( { - \sqrt {\frac{{15 + \sqrt {145} }}{{10}}} , - \frac{1}{{50}}\sqrt {150 + 10\sqrt {145} } + \frac{1}{{50}}\sqrt {150 + 10\sqrt {145} } \sqrt {145} } \right)}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {Bunnpunkt{\rm{ }}\left( {\sqrt {\frac{{15 + \sqrt {145} }}{{10}}} ,\frac{1}{{50}}\sqrt {150 + 10\sqrt {145} } - \frac{1}{{50}}\sqrt {150 + 10\sqrt {145} } \sqrt {145} } \right)}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {Bunnpunkt{\rm{ }}\left( { - \sqrt {\frac{{15 - \sqrt {145} }}{{10}}} , - \frac{1}{{50}}\sqrt {150 - 10\sqrt {145} } + \frac{1}{{50}}\sqrt {150 - 10\sqrt {145} } \sqrt {145} } \right)}} [/tex]

Oppgave c)

[tex] f\left( x \right) = {x^5} - 5{x^3} + 4x [/tex]

[tex] f^{\prime}\left( x \right) = 5{x^4} - 15{x^2} + 4 [/tex]

[tex] f^{\prime\prime}\left( x \right) = 20{x^3} - 30x [/tex]

[tex] f^{\prime\prime}\left( x \right) = 20x\left( {{x^2} - \frac{3}{2}} \right) [/tex]

[tex] \underline {x = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = \pm \frac{1}{2}\sqrt 6 } [/tex]

[tex] f\left( 0 \right) = 0 [/tex]

[tex] x\left( {\frac{1}{2}\sqrt 6 } \right) = - \frac{5}{8}\sqrt 6 [/tex]

[tex] x\left( { - \frac{1}{2}\sqrt 6 } \right) = \frac{5}{8}\sqrt 6 [/tex]

[tex]\underline{\underline{Vendepunkt1{\rm{ }}\left( {0,0} \right){\rm{ }}}} {\rm{ }} [/tex]

[tex] \underline{\underline {Vendepunkt2{\rm{ }}\left( {-\frac{1}{2}\sqrt 6 , \frac{5}{8}\sqrt 6 } \right)}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {Vendepunkt3{\rm{ }}\left( {\frac{1}{2}\sqrt 6 , - \frac{5}{8}\sqrt 6 } \right)}} [/tex]

[tex]y = a\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} [/tex]

[tex] y = f^{\prime}\left( n \right)\left( {x - n} \right) + f\left( n \right) [/tex]

[tex] \underline{\underline {Tangent1{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = - \frac{1}{2}\sqrt 6 {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}y = - \frac{{29}}{4}x - 3\sqrt 6 }} [/tex]

[tex] \underline{\underline {Tangent2{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}y = 4x{\rm{ }}}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {Tangent3{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = - \frac{1}{2}\sqrt 6 {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}y = - \frac{{29}}{4}x + 3\sqrt 6 }} [/tex]

Oppgave d

[tex] f\left( x \right) = {x^5} - 5{x^3} + 4x[/tex]

[tex] f^{\prime}\left( x \right) = 5{x^4} - 15{x^2} + 4x [/tex]

[tex] 4 = 5{x^4} - 15{x^2} + 4 [/tex]

[tex] 5{x^4} - 15{x^2}[/tex]

[tex] 5{x^2}\left( {{x^2} - 3} \right) [/tex]

[tex] x = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = \pm \sqrt 3 [/tex]

[tex] f\left( 0 \right) = 0 [/tex]

[tex] f\left( {\sqrt 3 } \right) = - 2\sqrt 3 [/tex]

[tex] f\left( { - \sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 [/tex]

[tex] y = f^{\prime}\left( n \right)\left( {x - n} \right) + f\left( n \right) [/tex]

[tex] Tangent1{\rm{ n{\aa}r }}x = - \sqrt 3 {\rm{ }}\underline{\underline {{\rm{ }}y = 4x + 6\sqrt 3 {\rm{ }}}} [/tex]

[tex]Tangent2{\rm{ n{\aa}r }}x = 0{\rm{ }}\underline{\underline {{\rm{ }}y = 4x{\rm{ }}}}[/tex]

[tex] Tangent3{\rm{ n{\aa}r }}x = \sqrt 3 {\rm{ }}\underline{\underline {{\rm{ }}y = 4x - 6\sqrt 3 {\rm{ }}}} [/tex]

Ser dette riktig ut så langt?

Realist1 · 07/02-2010 17:41

Vet du hva et vendepunkt er?

07/02-2010 18:02

Et vendepunkt er vell der krummningen til en graf forandrer seg... Litt krunglete definisjon. Vendepunktet er også der f'(x) øker eller minker mest. Ser ikke helt hvordan å vite definisjonen til et vendepunkt kan hjelpe meg?

Videre kan vi vell også si at tangenten til vendepunktet alltid vil krysse f(x) i bare et punkt.

Oppgave e) Dette er 99% sikkert at det er feil, men er jo bare å prøve

[tex] f\left( x \right) = {x^5} - 5{x^3} + 4x [/tex]

[tex] f^{\prime}\left( x \right) = 5{x^4} - 15{x^2} + 4[/tex]

[tex] c = 5{x^4} - 15{x^2} + 4 [/tex]

[tex] u = {x^2} [/tex]

[tex] f^{\prime}\left( x \right) = 5\left( {{u^2}} \right) + \left( { - 15} \right)u + \left( {4 - c} \right) [/tex]

[tex] x = \pm \sqrt {\frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}} = \pm \sqrt {\frac{{ - \left( { - 15} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 15} \right)}^2} - 4\left( 5 \right)\left( {4 - c} \right)} }}{{2\left( 5 \right)}}} [/tex]

[tex] {\left( { - 15} \right)^2} - 4\left( 5 \right)\left( {4 - c} \right) = 0 [/tex]

[tex] 225 - 80 + 20c = 0 [/tex]

[tex] \underline {c = - \frac{{29}}{4}} [/tex]

[tex] x = \pm \sqrt {\frac{{ - \left( { - 15} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 15} \right)}^2} - 4\left( 5 \right)\left( {4 - c} \right)} }}{{2\left( 5 \right)}}} = x = \pm \sqrt {\frac{{15 \pm \sqrt {225 - 20\left( {4 - \frac{{29}}{4}} \right)} }}{{10}}} = \pm \sqrt {\frac{{15 \pm \sqrt 0 }}{{10}}} = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {N{\aa}r{\rm{ stigningstallet er 4 har f}}\left( x \right){\rm{ tre tangenter}}}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {N{\aa}r{\rm{ stigningstallet er st{\o}rre enn 4 har f}}\left( x \right){\rm{ to tangenter}}}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{N{\aa}r stigningstallet er mellom }} - \frac{{29}}{4}{\rm{ }}og{\rm{ 4 har f}}\left( x \right){\rm{ fire tangenter}}}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{N{\aa}r stigningstallet er }} - \frac{{29}}{4}{\rm{ har f}}\left( x \right){\rm{ to tangenter}}}} [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{N{\aa}r stigningstallet er mindre enn }} - \frac{{29}}{4}{\rm{ har f}}\left( x \right){\rm{ \, ingen tangenter}}}} [/tex]