Integral

[Nebuchadnezzar]

Elsker litt tøffe integraler så jeg prøvde meg på denne

[tex] \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{ dx}}} [/tex]

[tex] u = 1 + {x^2} [/tex]

[tex] du = 2x{\rm{ dx}}[/tex]

[tex] \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{ dx}}}[/tex]

[tex] \int {{x^5}\sqrt u {\rm{ }}\frac{{du}}{{2x}}}[/tex]

[tex] \frac{1}{2}\int {{x^4}\sqrt u {\rm{ du}}}[/tex]

[tex] \frac{1}{2}\int {{{\left( {u - 1} \right)}^2}\sqrt u {\rm{ du}}} [/tex]

[tex] \int {kdv = kv - \int {vdk} } [/tex]

[tex] k = {\left( {u - 1} \right)^2}{\rm{ d}}k = 2\left( {u - 1} \right)[/tex]

[tex] dv = \sqrt u {\rm{ }}v = \frac{2}{3}{u^{3/2}}[/tex]

[tex] \int {{{\left( {u - 1} \right)}^2}\sqrt u {\rm{ }}dx = {\left( {{{\left( {u - 1} \right)}^2}} \right)}\frac{2}{3}{u^{3/2}} \, - \, \int {\frac{2}{3}{u^{3/2}}2\left( {u - 1} \right)} } {\rm{ }}du[/tex]

[tex] \int {{{\left( {u - 1} \right)}^2}\sqrt u {\rm{ }}du = {\left( {{{\left( {u - 1} \right)}^2}} \right)}\frac{2}{3}{u^{3/2}} \, - \, \int {\frac{4}{3}{u^{5/2}} \, - \, \frac{4}{3}{u^{3/2}}{\rm{ }}du} } [/tex]

[tex] \int {{{\left( {u - 1} \right)}^2}\sqrt u {\rm{ }}du = {{\left( {{{\left( {u - 1} \right)}^2}} \right)}\frac{2}{3}{u^{3/2}} \, - \, \left( {\frac{8}{{21}}{u^{7/2}} \, - \, \frac{8}{{15}}{u^{5/2}} + C} \right)} [/tex]

[tex] \int {{{\left( {u - 1} \right)}^2}\sqrt u {\rm{ }}du = {\left( {{{\left( {u - 1} \right)}^2}} \right)}\frac{2}{3}{u^{3/2}} \, - \, \frac{8}{{21}}{u^{7/2}} \, + \, \frac{8}{{15}}{u^{5/2}} + C} [/tex]

[tex] \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{ dx}}} = \frac{1}{2}({\left( {\left( {1 + {x^2}} \right) \, - \, 1} \right)}^2} \cdot \frac{2}{3}{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{3/2}} \, - \, \frac{8}{{21}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{7/2}} \, + \, \frac{8}{{15}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{5/2}} + C )[/tex]

Er dette riktig ? Eventuelt kunne noen vise meg hvordan jeg kommer frem til fasiten under, er ikke så stø i algebra...

[tex] \int {{{\left( {u - 1} \right)}^2}\sqrt u {\rm{ }}dx} = \frac{1}{{105}}{\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}\left( {15{x^4} - 12{x^2} + 8} \right) + C [/tex]

[Janhaa]

hvis du skriver

[tex]I={1\over 7}(1+x^2)^{3.5}\,-\,{2\over 5}(1+x^2)^{2.5}\,+\,{1\over 3}(1+x^2)^{1.5}\,+\,C[/tex]

[tex]I=(1+x^2)^{1.5}\left({1\over 7}(1+x^2)^{2}\,-\,{2\over 5}(1+x^2)\,+\,{1\over 3}\right)\,+\,C[/tex]
.
.
.
[tex]I={1\over {105}}(1+x^2)^{1.5}\left(15x^4-12x^2\,+\,8\right)\,+\,C[/tex]
=====================

eller sett x = sinh(u)
dx = cosh(u) du

[tex]I=\int \sinh^5(u)\cosh^2(u)\,du=\int\left(\sinh^7(u)\,+\,\sinh^5(u)\right)\,du[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Og der satt den

Hva med ?

[tex]\int {\frac{1}{{1 + \cos \left( x \right)}}} dx[/tex]

Klarer ikke engang å begynne... Tenkte at jeg kunne bruke identiteten
[tex]1 = cos^2(x)+sin^2(x) [/tex]men det var ikke så mye nytte i.

[Janhaa]

Og der satt den
Hva med ?
[tex]\int {\frac{1}{{1 + \cos \left( x \right)}}} dx[/tex]
Klarer ikke engang å begynne... Tenkte at jeg kunne bruke identiteten
[tex]1 = cos^2(x)+sin^2(x) [/tex]men det var ikke så mye nytte i.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... cosx%29+dx

[Janhaa]

Og der satt den
Hva med ?
[tex]\int {\frac{1}{{1 + \cos \left( x \right)}}} dx[/tex]
Klarer ikke engang å begynne... Tenkte at jeg kunne bruke identiteten
[tex]1 = cos^2(x)+sin^2(x) [/tex]men det var ikke så mye nytte i.

eller uten trigonometrisk substitusjon

[tex]I=\int {\frac{1}{{1 + \cos \left( x \right)}}} dx=\int\frac{1-\cos x}{\sin^2x}\,dx =\int\left(\frac{1}{\sin^2x}\,-\,\frac{\cos x}{\sin^2x}\right)\,dx=I_1\,+\,I_2[/tex]

for I_1 har vi at (tan x)' = sec[sup]2[/sup]x
og (cot x)' = - csc[sup]2[/sup]x = - 1/sin[sup]2[/sup]x
slik at
[tex]I_1=\int \csc x\,dx=-\cot x + C_1=-{1\over \tan x}+C_1[/tex]
-------------------------

for I_2 sett u = sin x
du = cosx dx

[tex]I_2=-\int \cos x\csc^2x\,dx=-\int\frac{du}{u^2}={1\over u}+C_2={1\over \sin x}+C_2[/tex]
==============

[tex]I=I_1\,+\,I_2=-{1\over \tan x}\,+\,{1\over \sin x}+C=-\cot x\,+\,\csc x \,+\,C[/tex]