Bevisføring er vanskelig!

[krje1980]

Hei.

Jeg holder for tiden på med matematikk årsstudium - UiB. Studerer på egen hånd ettersom jeg er i full jobb.

I det store og det hele går det veldig bra. Fikk gode karakterer til jul (en A og en B), og har god kontroll på nesten all pensum. MEN - jeg har store vansker med å få til korrekt bevisføring. F.eks. - bevis at en funksjon er Riemann-integrerbar, bevis at funksjonen er kontinuerlig, etc. Jeg føler at jeg har en god forståelse for hva delta og epislon er og hvordan det brukes, men jeg får aldri bevisene til korrekt (får aldri helt det samme som fasiten).

Så - er det vanlig at man som førsteårsstudent har problemer med dette? Jeg har som sagt ingen problemer med mesteparten av det som IKKE går på bevisføring. Og finnes det noen gode tekster der ute som forklarer dette på en pedagogisk god måte? Nå bruker jeg Adams sin Calculus - A complete course. Dette er i og for seg en bra bok, men akkurat bevisføring blir ikke forklart særlig bra synes jeg.

Setter pris på "trøst" som går på at dette er noe de aller fleste har problemer med til å begyne med, samt tips til litteratur som kan gjør dette litt mer forståelig .

[Emilga]

Må du nødvendigvis ha feil dersom ditt bevis er ulikt det i "fasit"?

[Markonan]

Tenkte på det samme. Det finnes ofte mange måter å bevise noe, og selv med en bestemt fremgangsmåte kan det være mange variasjoner som skiller bevis, selv om de er like gyldige og beviser det samme resultatet.

Med andre ord kan det godt være du har gjort det helt rett selv om du ikke har det samme som fasitenen.

Forslag til bok om bevisføring er "How to prove it - A structured approach" av Daniel Velleman. Lenke her så du kan se litt på den:
http://books.google.no/books?id=sXt-ROL ... q=&f=false

Amazon-lenken for å se litt mer:
http://www.amazon.co.uk/How-Prove-Struc ... 652&sr=8-1

Den begynner med logikk, logikk med kvantorer og går etterhvert over på veldig enkle matematikkbevis. Den gir deg forskjellige bevis-strategier, så neste gang du skal bevise noe så har du plutselig masse ting du vet du kan prøve.

Veldig fin bok. Anbefaler den!

[krje1980]

Markonan - tusen takk for tipset! Jeg skal absolutt skaffe meg denne boken!

Ja, det er vel kanskje mulig at noen av bevisene mine stemmer, men dette tror jeg ikke er tilfellet de fleste gangene . Særlig blir jeg ofte forvirret m.h.t. nøyaktig hvordan man skal definere et uttrykk i forhold til epislon. Av og til tar man i følge teksboken kun at et uttrykk er mindre enn epsilon, andre ganger er et uttrykk mindre enn epsilon delt på 2, osv. Jeg forstår helt utmerket logikken bak epsilon/delta for grenseverdien til en funksjon, men nå som vi holder på med disse begrepene for å definere generelle teorier knyttet til funksjoner synes jeg det er vanskelig å få dreisen på det. I tillegg har skal vi bevise hvorvidt funksjoner er integrerbare osv - også gjennom bruk av epsilon. Skulle gjerne hatt en bok som gikk meget grundig gjennom dette, men har ikke funnet noen på amazon. Tekstboken vi har nå er ikke særlig flink til å forklare hvordan man har "tenkt" mellom de ulike skrittene i bevisføringen.

[Markonan]

Grunnen til at man bruker epsilon/2 er at man gjerne viser
[tex]P \,<\, \frac{\epsilon}{2}[/tex] og [tex]Q \,<\, \frac{\epsilon}{2}[/tex],
og runder av beviset ved å kombinere dem.
[tex]P + Q \,<\, \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex].

Men det er strengt tatt ikke nødvendig. Du kunne like gjerne brukt
[tex]P \,<\, \epsilon\quad Q \,<\, \epsilon[/tex] og [tex]P+Q \,<\, 2\epsilon[/tex]. Det er like gyldig, siden epsilon er vilkårlig liten.

Men jeg husker jeg sleit veldig med bevisføring og forståelsen av det. Leste bevis igjen og igjen uten at jeg klarte å skrive noe særlig selv. Men som det påpekes i boken jeg henviste til er beviset bare en rekke med forkortede, logiske slutninger og forteller deg ingenting om hvordan de fant det ut. Det gjør den boken!

Det skal sies den ikke går så veldig langt i kalkulus/analyse, men du lærer mye om logikken bak bevisene.

[krje1980]

Takk for tipsene om epsilon, Markonan! Boken du anbefalte er allerede bestilt