Integral med ln

[Nebuchadnezzar]

Har litt problemer med disse integralene her... Noen som kan hjelpe ?

[tex]I=\int{\ln(x^2-a^2)} \, dx[/tex]

[tex]II=\int \ln({\sqrt{e^x}}) \, dx[/tex]

[tex]III=\int {\frac{1}{x^4+4} \, dx}[/tex]

[Janhaa]

Har litt problemer med disse integralene her... Noen som kan hjelpe ?
[tex]III=\int {\frac{dx}{x^4+4}}[/tex]

(ps, husk integrasjonsvariablene)
rimelig hårete integral du har rota deg bort i

se heller litt på hva mr. wolfram alpha anbefaler:

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... 2Bx%5E4%29

[Janhaa]

Har litt problemer med disse integralene her... Noen som kan hjelpe ?
[tex]I=\int{\ln(x^2-a^2)\,dx}[/tex]

usw...

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... 2-a%5E2%29

husk evt show steps...

[Nebuchadnezzar]

Burde ha sagt det, men har allerede tittet litt der, Men vil egentlig prøve å løse disse problemene selv Skal skrive litt nå om hva jeg har prøvd... Og det er bare de vanskelige integralene som er gøyale ^^

[tex]III[/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}} dx [/tex]

[tex] x^4 = - 4 \Rightarrow {\rm{ }}x = 1 \pm i{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = - 1 \pm i [/tex]

[tex] x^4 + 4 = \left( {x^2 - 2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right) [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} dx [/tex]

Er det delvis integrasjon herfra ? Hva skal jeg da sette u og v som ?

[tex]I[/tex]

[tex] \int {\ln \left( {x^2 - a^2 } \right)} dx [/tex]

[tex] \int {udv}\,dx = uv - \int {vdu}\,dx [/tex]

[tex] u = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right){\rm{ }}\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{2x}}{{x^2 - a^2 }} [/tex]

[tex] dv = 1{\rm{ }}v = x [/tex]

[tex]= \int {\ln \left( {x^2 - a^2 } \right){\rm{ }}}\, dx [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \int {x\frac{{2x}}{{x^2 - a^2 }}{\rm{ }}} dx [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - 2\int {\frac{{x^2 }}{{x^2 - a^2 }}{\rm{ }}} \,dx [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - 2\int (\,{\frac{a}{{2\left( {x - a} \right)}} - \frac{a}{{2\left( {a + x} \right)}} + 1})\,dx [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \left( {\int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}dx - \int {\frac{a}{{\left( {a + x} \right)}}}dx + \int 2 }dx \right) [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \left( {\int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}\,dx - \int {\frac{a}{{\left( {a + x} \right)}}}\,dx + 2x} \right) [/tex]

Riktig sålangt ? Hvilken subsitusjon skal jeg bruke på de to gjennstående integralene ?

[Janhaa]

Burde ha sagt det, men har allerede tittet litt der, Men vil egentlig prøve å løse disse problemene selv Skal skrive litt nå om hva jeg har prøvd... Og det er bare de vanskelige integralene som er gøyale ^^
[tex]III[/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}} dx [/tex]
[tex] x^4 = - 4 \Rightarrow {\rm{ }}x = 1 \pm i{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = - 1 \pm i [/tex]
[tex] x^4 + 4 = \left( {x^2 - 2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right) [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} dx [/tex]
Er det delvis integrasjon herfra ? Hva skal jeg da sette u og v som ?

derfra er det delbrøks-oppspalting...

[Janhaa]

Burde ha sagt det, men har allerede tittet litt der, Men vil egentlig prøve å løse disse problemene selv Skal skrive litt nå om hva jeg har prøvd... Og det er bare de vanskelige integralene som er gøyale ^^
[tex] \int {\ln \left( {x^2 - a^2 } \right)} dx [/tex]
[tex] \int {udv}\,dx = uv - \int {vdu}\,dx [/tex]
[tex] u = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right){\rm{ }}\frac{{du}}{{dx}} =\frac{{2x}}{{x^2 - a^2 }} [/tex]
[tex] dv = 1{\rm{ }}v = x [/tex]
[tex]= \int {\ln \left( {x^2 - a^2 } \right){\rm{ }}}\, dx [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \int {x\frac{{2x}}{{x^2 - a^2 }}{\rm{ }}} dx [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - 2\int {\frac{{x^2 }}{{x^2 - a^2 }}{\rm{ }}} \,dx [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - 2\int (\,{\frac{a}{{2\left( {x - a} \right)}} - \frac{a}{{2\left( {a + x} \right)}} + 1})\,dx [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \left( {\int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}dx - \int {\frac{a}{{\left( {a + x} \right)}}}dx + \int 2 }dx \right) [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \left( {\int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}\,dx - \int {\frac{a}{{\left( {a + x} \right)}}}\,dx + 2x} \right) [/tex]
Riktig sålangt ? Hvilken subsitusjon skal jeg bruke på de to gjennstående integralene ?

ser bra ut det, så blir resten:
[tex] {\int {\frac{a}{{\left( {x + a} \right)}}}\,dx - \int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}\,dx =a\,\ln|x+a|\,-\,a\,\ln|x-a|+C=a\,\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C [/tex]

[Nebuchadnezzar]

[tex]III[/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}dx} [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}}dx} [/tex]

[tex] \frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}} = \frac{{Ax + B}}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}} + \frac{{Cx + D}}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}} [/tex]

[tex] 1 = \left( {Ax + B} \right)\left( {x^2 - 2x + 2} \right) + \left( {Cx + D} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right) [/tex]

Kanskje jeg bare er litt trøtt, men forstår ikke helt hvordan jeg skal klare å finne A,B,C, og D... Har ikke lært om matriserer og Gauss-eliminasjon enda.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


[tex] = \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}dx} = \int {\left( {\frac{{2 - x}}{{8\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}} + \frac{{2 + x}}{{8\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} \right)} dx [/tex]

[tex] = \frac{1}{8}\int {\frac{{2 - x}}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}}dx + \frac{1}{8}\int {\frac{{2 + x}}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} } dx [/tex]

Og da står jeg fast igjen... Så på omskrivningen på wolfram, men forstod ikke hvordan de skrev om integralet. Har prøvd et par subsituasjoner men ingenting kommer fram. Polynomdivisjon funket heller ikke.

[Janhaa]

[tex]III[/tex]
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -[tex] = \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}dx} = \int {\left( {\frac{{2 - x}}{{8\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}} + \frac{{2 + x}}{{8\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} \right)} dx [/tex]
[tex] = \frac{1}{8}\int {\frac{{2 - x}}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}}dx + \frac{1}{8}\int {\frac{{2 + x}}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} } dx [/tex]
Og da står jeg fast igjen... Så på omskrivningen på wolfram, men forstod ikke hvordan de skrev om integralet. Har prøvd et par subsituasjoner men ingenting kommer fram. Polynomdivisjon funket heller ikke.

[tex]I_1=\frac{1}{8}\int {\frac{{x + 2}}{{x^2 + 2x + 2} }} dx [/tex]

jeg er blitt lat m/ åra, spes. etter Wolfram Alpha tryller:

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... %2B2%29+dx

==========================================

[tex]I_2=\frac{1}{8}\int {\frac{{-x + 2}}{{x^2 - 2x + 2} }} dx [/tex]

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... %2B2%29+dx

husk show steps på begge!

[Nebuchadnezzar]

Og der tok jeg endelig omskrivningen tusen takk !
Wolfram er veldig fin den, men noen ganger gjør den ting på en litt underlig måte så vi nybegynnere som må ha ting inn med teskje ikke klarer å henge med i svingene ^^

Er det andre integralet så lett som dette ?

[tex]I_2 = \int {\ln \left( {\sqrt {e^x } } \right)} dx = \frac{1}{2}\int {\ln \left( {e^x } \right)} dx = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {e^x } \right)^2 + C} \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {e^x } \right)^2 + C [/tex]

Hvorfor blir det feil og løse integralet på måten vist under ?

[tex] \int {\ln \left( {\sqrt {e^x } } \right)}dx = \int {\ln \left( {e^{\frac{1}{2}x} } \right)} dx = \int {\frac{1}{2}x\ln \left( e \right)} = \frac{1}{2}\int {x = \frac{1}{4}x^2 } + C[/tex]

[Markonan]

De er faktisk like. I det første kunne du brukt
[tex]\ln(e^x) = x[/tex].

Alternativt kan du se på svaret til det første.
[tex]\ln(e^x)^2 = \ln(e^x)\ln(e^x) = x\cdot x = x^2[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Kan umulig være så lett som dette... Tror jeg har lest av oppgaven feil, tror det må være

[tex]\int {\log_{10}(\sqrt{e^x}) \. dx[/tex]

Og jeg som trodde jeg endelig var ferdig med oppgavene, sigh. Noen hjelp til å starte på oppgaven ?

EDIT

Selvgjort er velgjort

[tex] pga{\rm{ }}\log x = \frac{{\ln x}}{{\log 10}}{\rm{ s{\aa} }}\int {\log \left( {\sqrt {e^x } } \right)} dx = \int {\frac{{\ln \left( {\sqrt {e^x } } \right)}}{{\ln \left( {10} \right)}}} dx = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right)}}\int {\ln \left( {\sqrt {e^x } } \right)dx} [/tex]

[tex] = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right)}}\int {\frac{1}{2}x\ln \left( e \right)} dx = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right)}}\frac{1}{2}\int x \,dx = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right)}}\frac{1}{2}\frac{1}{2}x^2 + C = \frac{{x^2 }}{{4\ln \left( {10} \right)}}+C [/tex]

[Janhaa]

Kan umulig være så lett som dette... Tror jeg har lest av oppgaven feil, tror det må være
[tex]\int {\log_{10}(\sqrt{e^x}) \. dx[/tex]
Og jeg som trodde jeg endelig var ferdig med oppgavene, sigh. Noen hjelp til å starte på oppgaven ?

siden du er så ivrig. ..bruk orakelet som manual:

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... Log10.Log-

hmmm...du må åpne hele linken, også den som ikke er blå...

[Markonan]

Den blir vel like enkel?

[tex]\log_{\small 10}(\sqrt{e^x}) \;=\; \frac{\ln(\sqrt{e^x})}{\ln(10)} \;=\; \frac{1}{\ln(10)}\cdot\ln(\sqrt{e^x})[/tex]

og så bare sett konstanten utenfor og du har det samme integralet.