matematikk.net

Har litt problemer med disse integralene her... Noen som kan hjelpe ?

[tex]I=\int{\ln(x^2-a^2)} \, dx[/tex]

[tex]II=\int \ln({\sqrt{e^x}}) \, dx[/tex]

[tex]III=\int {\frac{1}{x^4+4} \, dx}[/tex]

Nebuchadnezzar wrote:Har litt problemer med disse integralene her... Noen som kan hjelpe ?
[tex]III=\int {\frac{dx}{x^4+4}}[/tex]

(ps, husk integrasjonsvariablene)
rimelig hårete integral du har rota deg bort i

se heller litt på hva mr. wolfram alpha anbefaler:

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... 2Bx%5E4%29

Nebuchadnezzar wrote:Har litt problemer med disse integralene her... Noen som kan hjelpe ?
[tex]I=\int{\ln(x^2-a^2)\,dx}[/tex]

usw...

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... 2-a%5E2%29

husk evt show steps...

Burde ha sagt det, men har allerede tittet litt der, Men vil egentlig prøve å løse disse problemene selv Skal skrive litt nå om hva jeg har prøvd... Og det er bare de vanskelige integralene som er gøyale ^^

[tex]III[/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}} dx [/tex]

[tex] x^4 = - 4 \Rightarrow {\rm{ }}x = 1 \pm i{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = - 1 \pm i [/tex]

[tex] x^4 + 4 = \left( {x^2 - 2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right) [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} dx [/tex]

Er det delvis integrasjon herfra ? Hva skal jeg da sette u og v som ?

[tex]I[/tex]

[tex] \int {\ln \left( {x^2 - a^2 } \right)} dx [/tex]

[tex] \int {udv}\,dx = uv - \int {vdu}\,dx [/tex]

[tex] u = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right){\rm{ }}\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{2x}}{{x^2 - a^2 }} [/tex]

[tex] dv = 1{\rm{ }}v = x [/tex]

[tex]= \int {\ln \left( {x^2 - a^2 } \right){\rm{ }}}\, dx [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \int {x\frac{{2x}}{{x^2 - a^2 }}{\rm{ }}} dx [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - 2\int {\frac{{x^2 }}{{x^2 - a^2 }}{\rm{ }}} \,dx [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - 2\int (\,{\frac{a}{{2\left( {x - a} \right)}} - \frac{a}{{2\left( {a + x} \right)}} + 1})\,dx [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \left( {\int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}dx - \int {\frac{a}{{\left( {a + x} \right)}}}dx + \int 2 }dx \right) [/tex]

[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \left( {\int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}\,dx - \int {\frac{a}{{\left( {a + x} \right)}}}\,dx + 2x} \right) [/tex]

Riktig sålangt ? Hvilken subsitusjon skal jeg bruke på de to gjennstående integralene ?

Nebuchadnezzar wrote:Burde ha sagt det, men har allerede tittet litt der, Men vil egentlig prøve å løse disse problemene selv Skal skrive litt nå om hva jeg har prøvd... Og det er bare de vanskelige integralene som er gøyale ^^
[tex]III[/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}} dx [/tex]
[tex] x^4 = - 4 \Rightarrow {\rm{ }}x = 1 \pm i{\rm{ }} \vee {\rm{ }}x = - 1 \pm i [/tex]
[tex] x^4 + 4 = \left( {x^2 - 2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right) [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} dx [/tex]
Er det delvis integrasjon herfra ? Hva skal jeg da sette u og v som ?

derfra er det delbrøks-oppspalting...

Nebuchadnezzar wrote:Burde ha sagt det, men har allerede tittet litt der, Men vil egentlig prøve å løse disse problemene selv Skal skrive litt nå om hva jeg har prøvd... Og det er bare de vanskelige integralene som er gøyale ^^
[tex] \int {\ln \left( {x^2 - a^2 } \right)} dx [/tex]
[tex] \int {udv}\,dx = uv - \int {vdu}\,dx [/tex]
[tex] u = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right){\rm{ }}\frac{{du}}{{dx}} =\frac{{2x}}{{x^2 - a^2 }} [/tex]
[tex] dv = 1{\rm{ }}v = x [/tex]
[tex]= \int {\ln \left( {x^2 - a^2 } \right){\rm{ }}}\, dx [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \int {x\frac{{2x}}{{x^2 - a^2 }}{\rm{ }}} dx [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - 2\int {\frac{{x^2 }}{{x^2 - a^2 }}{\rm{ }}} \,dx [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - 2\int (\,{\frac{a}{{2\left( {x - a} \right)}} - \frac{a}{{2\left( {a + x} \right)}} + 1})\,dx [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \left( {\int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}dx - \int {\frac{a}{{\left( {a + x} \right)}}}dx + \int 2 }dx \right) [/tex]
[tex] = \ln \left( {x^2 - a^2 } \right)x - \left( {\int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}\,dx - \int {\frac{a}{{\left( {a + x} \right)}}}\,dx + 2x} \right) [/tex]
Riktig sålangt ? Hvilken subsitusjon skal jeg bruke på de to gjennstående integralene ?

ser bra ut det, så blir resten:
[tex] {\int {\frac{a}{{\left( {x + a} \right)}}}\,dx - \int {\frac{a}{{\left( {x - a} \right)}}}\,dx =a\,\ln|x+a|\,-\,a\,\ln|x-a|+C=a\,\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C [/tex]

[tex]III[/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}dx} [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}}dx} [/tex]

[tex] \frac{1}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}} = \frac{{Ax + B}}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}} + \frac{{Cx + D}}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}} [/tex]

[tex] 1 = \left( {Ax + B} \right)\left( {x^2 - 2x + 2} \right) + \left( {Cx + D} \right)\left( {x^2 + 2x + 2} \right) [/tex]

Kanskje jeg bare er litt trøtt, men forstår ikke helt hvordan jeg skal klare å finne A,B,C, og D... Har ikke lært om matriserer og Gauss-eliminasjon enda.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


[tex] = \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}dx} = \int {\left( {\frac{{2 - x}}{{8\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}} + \frac{{2 + x}}{{8\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} \right)} dx [/tex]

[tex] = \frac{1}{8}\int {\frac{{2 - x}}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}}dx + \frac{1}{8}\int {\frac{{2 + x}}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} } dx [/tex]

Og da står jeg fast igjen... Så på omskrivningen på wolfram, men forstod ikke hvordan de skrev om integralet. Har prøvd et par subsituasjoner men ingenting kommer fram. Polynomdivisjon funket heller ikke.

Nebuchadnezzar wrote:[tex]III[/tex]
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -[tex] = \int {\frac{1}{{x^4 + 4}}dx} = \int {\left( {\frac{{2 - x}}{{8\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}} + \frac{{2 + x}}{{8\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} \right)} dx [/tex]
[tex] = \frac{1}{8}\int {\frac{{2 - x}}{{\left( {x^2 - 2x + 2} \right)}}dx + \frac{1}{8}\int {\frac{{2 + x}}{{\left( {x^2 + 2x + 2} \right)}}} } dx [/tex]
Og da står jeg fast igjen... Så på omskrivningen på wolfram, men forstod ikke hvordan de skrev om integralet. Har prøvd et par subsituasjoner men ingenting kommer fram. Polynomdivisjon funket heller ikke.

[tex]I_1=\frac{1}{8}\int {\frac{{x + 2}}{{x^2 + 2x + 2} }} dx [/tex]

jeg er blitt lat m/ åra, spes. etter Wolfram Alpha tryller:

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... %2B2%29+dx

==========================================

[tex]I_2=\frac{1}{8}\int {\frac{{-x + 2}}{{x^2 - 2x + 2} }} dx [/tex]

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... %2B2%29+dx

husk show steps på begge!

Og der tok jeg endelig omskrivningen tusen takk !
Wolfram er veldig fin den, men noen ganger gjør den ting på en litt underlig måte så vi nybegynnere som må ha ting inn med teskje ikke klarer å henge med i svingene ^^

Er det andre integralet så lett som dette ?

[tex]I_2 = \int {\ln \left( {\sqrt {e^x } } \right)} dx = \frac{1}{2}\int {\ln \left( {e^x } \right)} dx = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\ln \left( {e^x } \right)^2 + C} \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {e^x } \right)^2 + C [/tex]

Hvorfor blir det feil og løse integralet på måten vist under ?

[tex] \int {\ln \left( {\sqrt {e^x } } \right)}dx = \int {\ln \left( {e^{\frac{1}{2}x} } \right)} dx = \int {\frac{1}{2}x\ln \left( e \right)} = \frac{1}{2}\int {x = \frac{1}{4}x^2 } + C[/tex]

De er faktisk like. I det første kunne du brukt
[tex]\ln(e^x) = x[/tex].

Alternativt kan du se på svaret til det første.
[tex]\ln(e^x)^2 = \ln(e^x)\ln(e^x) = x\cdot x = x^2[/tex]

Kan umulig være så lett som dette... Tror jeg har lest av oppgaven feil, tror det må være

[tex]\int {\log_{10}(\sqrt{e^x}) \. dx[/tex]

Og jeg som trodde jeg endelig var ferdig med oppgavene, sigh. Noen hjelp til å starte på oppgaven ?

EDIT

Selvgjort er velgjort

[tex] pga{\rm{ }}\log x = \frac{{\ln x}}{{\log 10}}{\rm{ s{\aa} }}\int {\log \left( {\sqrt {e^x } } \right)} dx = \int {\frac{{\ln \left( {\sqrt {e^x } } \right)}}{{\ln \left( {10} \right)}}} dx = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right)}}\int {\ln \left( {\sqrt {e^x } } \right)dx} [/tex]

[tex] = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right)}}\int {\frac{1}{2}x\ln \left( e \right)} dx = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right)}}\frac{1}{2}\int x \,dx = \frac{1}{{\ln \left( {10} \right)}}\frac{1}{2}\frac{1}{2}x^2 + C = \frac{{x^2 }}{{4\ln \left( {10} \right)}}+C [/tex]

Nebuchadnezzar wrote:Kan umulig være så lett som dette... Tror jeg har lest av oppgaven feil, tror det må være
[tex]\int {\log_{10}(\sqrt{e^x}) \. dx[/tex]
Og jeg som trodde jeg endelig var ferdig med oppgavene, sigh. Noen hjelp til å starte på oppgaven ?

siden du er så ivrig. ..bruk orakelet som manual:

http://www62.wolframalpha.com/input/?i= ... Log10.Log-

hmmm...du må åpne hele linken, også den som ikke er blå...

Den blir vel like enkel?

[tex]\log_{\small 10}(\sqrt{e^x}) \;=\; \frac{\ln(\sqrt{e^x})}{\ln(10)} \;=\; \frac{1}{\ln(10)}\cdot\ln(\sqrt{e^x})[/tex]

og så bare sett konstanten utenfor og du har det samme integralet.