matematikk.net

Hallo.
Oppgaveteksten lyder:
"Find the best upper bound you can for the error [tex]s-s_n[/tex] encountered if the partial sum [tex]s_n[/tex] is used to approximate the sum s of [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^k k!}[/tex]. How many terms do you need to be sure that the approximation has error less than 0.001?"

Jeg skjønner ikke heeelt hva jeg skal gjøre, og heller ikke hvor jeg skal starte.

Du vet at summen ligner på taylorrekken til eksponensialfunksjonen (bortsett fra at summen starter på k=1). Bruk restleddet (f.eks. Lagranges form) til en taylorrekke til å finne et uttrykk for en øvre grense for feilen:

Det fins en c mellom 0 og 0.5 slik at restleddet er

[tex]R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}[/tex] , der [tex]f(x) = e^x[/tex]