Page 1 of 1

Approksimert rekke for sqrt()

Posted: 06/05-2010 12:22
by drgz
Stusset på en ting ang. en approksimert rekkeutvikling for sqrt() i en phd-avhandling jeg leser på nå. Forhåpentligvis kan noen peke ut hvor jeg tenker feil.

Det står følgende (for [tex]xx^*<1[/tex] der [tex]x[/tex] er et komplekst tall og * står for komplekskonjugert)

[tex]\sqrt{xx^*} = (1+(xx^*-1))^{\frac12} = \sum_{k=1}^{\infty} \left({\frac12 \atop k}\right) (xx^*-1)^k[/tex]

der den generelle binomiale(?) rekken for uttrykk med en vilkårlig eksponent er benyttet. Så langt er det greit.

Deretter utvider forfatteren [tex](xx^*-1)^k[/tex] delen av det forrige uttrykket igjen med en "vanlig" binomial-rekke (heltallig eksponent) (ser det ut som i alle fall), noe som gir

[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\left({\frac12 \atop k}\right)\sum_{m=0}^{k}\left({k\atop m}\right)\left(xx^*\right)^{k-m} = \sum_{k=1}^{\infty}p_k\left(xx^*\right)^k[/tex]

der [tex]p_k[/tex] er en konstant.

Det jeg stusser litt på er følgende:

1) I den første utvidelsen: burde ikke rekken gå fra [tex]k=0\rightarrow\infty[/tex] og ikke [tex]k=1\rightarrow\infty[/tex] som forfatteren har skrevet? (http://wapedia.mobi/en/Binomial_series)
2) I den andre utvidelsen: skulle ikke det resulterende uttrykket inneholde [tex](-1)^m[/tex]? (http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient)
3) Og hvordan kan summen over [tex]m[/tex] inkluderes i en konstant, [tex]p_k[/tex], når en del av det resulterende uttrykket er på formen [tex](xx^*)^{k-m}[/tex]?

Når jeg regner på dette selv ender jeg opp med noe ala

[tex]\sum_{k=0}^{\infty}\left({\frac12 \atop k}\right)\sum_{m=0}^{k}\left({k\atop m}\right)(-1)^m(xx^*)^{k-m}[/tex],

som da er annerledes. Så da er spørsmålet hvor jeg evnt. gjør feil, eller hvor det går an å gjøre antagelser slik at en ender opp med det som står i avhandlingen? Noen tips?

Posted: 06/05-2010 18:00
by Charlatan
på 1) og 2) kan jeg ikke se hvorfor forfatteren har skrevet det han har gjort, men konklusjonen 3) er imidlertid riktig (utenom det faktum at rekken faktisk kan divergere, men anta at begge konvergerer), ettersom alle ledd er på formen [tex]C(xx*)^k[/tex] for en konstant C. Ved å hope sammen alle med lik eksponent får vi summen for noen koeffisienter [tex]p_k[/tex].

Posted: 06/05-2010 18:32
by drgz
Tusen takk for forklaringen for punkt 3. Skal undersøke litt nærmere på 1) og 2). Får se om jeg kanskje kan finne kontaktinfo til forfatteren og høre med han hva som er greia.