Approksimert rekke for sqrt()
Posted: 06/05-2010 12:22
Stusset på en ting ang. en approksimert rekkeutvikling for sqrt() i en phd-avhandling jeg leser på nå. Forhåpentligvis kan noen peke ut hvor jeg tenker feil.
Det står følgende (for [tex]xx^*<1[/tex] der [tex]x[/tex] er et komplekst tall og * står for komplekskonjugert)
[tex]\sqrt{xx^*} = (1+(xx^*-1))^{\frac12} = \sum_{k=1}^{\infty} \left({\frac12 \atop k}\right) (xx^*-1)^k[/tex]
der den generelle binomiale(?) rekken for uttrykk med en vilkårlig eksponent er benyttet. Så langt er det greit.
Deretter utvider forfatteren [tex](xx^*-1)^k[/tex] delen av det forrige uttrykket igjen med en "vanlig" binomial-rekke (heltallig eksponent) (ser det ut som i alle fall), noe som gir
[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\left({\frac12 \atop k}\right)\sum_{m=0}^{k}\left({k\atop m}\right)\left(xx^*\right)^{k-m} = \sum_{k=1}^{\infty}p_k\left(xx^*\right)^k[/tex]
der [tex]p_k[/tex] er en konstant.
Det jeg stusser litt på er følgende:
1) I den første utvidelsen: burde ikke rekken gå fra [tex]k=0\rightarrow\infty[/tex] og ikke [tex]k=1\rightarrow\infty[/tex] som forfatteren har skrevet? (http://wapedia.mobi/en/Binomial_series)
2) I den andre utvidelsen: skulle ikke det resulterende uttrykket inneholde [tex](-1)^m[/tex]? (http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient)
3) Og hvordan kan summen over [tex]m[/tex] inkluderes i en konstant, [tex]p_k[/tex], når en del av det resulterende uttrykket er på formen [tex](xx^*)^{k-m}[/tex]?
Når jeg regner på dette selv ender jeg opp med noe ala
[tex]\sum_{k=0}^{\infty}\left({\frac12 \atop k}\right)\sum_{m=0}^{k}\left({k\atop m}\right)(-1)^m(xx^*)^{k-m}[/tex],
som da er annerledes. Så da er spørsmålet hvor jeg evnt. gjør feil, eller hvor det går an å gjøre antagelser slik at en ender opp med det som står i avhandlingen? Noen tips?
Det står følgende (for [tex]xx^*<1[/tex] der [tex]x[/tex] er et komplekst tall og * står for komplekskonjugert)
[tex]\sqrt{xx^*} = (1+(xx^*-1))^{\frac12} = \sum_{k=1}^{\infty} \left({\frac12 \atop k}\right) (xx^*-1)^k[/tex]
der den generelle binomiale(?) rekken for uttrykk med en vilkårlig eksponent er benyttet. Så langt er det greit.
Deretter utvider forfatteren [tex](xx^*-1)^k[/tex] delen av det forrige uttrykket igjen med en "vanlig" binomial-rekke (heltallig eksponent) (ser det ut som i alle fall), noe som gir
[tex]\sum_{k=1}^{\infty}\left({\frac12 \atop k}\right)\sum_{m=0}^{k}\left({k\atop m}\right)\left(xx^*\right)^{k-m} = \sum_{k=1}^{\infty}p_k\left(xx^*\right)^k[/tex]
der [tex]p_k[/tex] er en konstant.
Det jeg stusser litt på er følgende:
1) I den første utvidelsen: burde ikke rekken gå fra [tex]k=0\rightarrow\infty[/tex] og ikke [tex]k=1\rightarrow\infty[/tex] som forfatteren har skrevet? (http://wapedia.mobi/en/Binomial_series)
2) I den andre utvidelsen: skulle ikke det resulterende uttrykket inneholde [tex](-1)^m[/tex]? (http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient)
3) Og hvordan kan summen over [tex]m[/tex] inkluderes i en konstant, [tex]p_k[/tex], når en del av det resulterende uttrykket er på formen [tex](xx^*)^{k-m}[/tex]?
Når jeg regner på dette selv ender jeg opp med noe ala
[tex]\sum_{k=0}^{\infty}\left({\frac12 \atop k}\right)\sum_{m=0}^{k}\left({k\atop m}\right)(-1)^m(xx^*)^{k-m}[/tex],
som da er annerledes. Så da er spørsmålet hvor jeg evnt. gjør feil, eller hvor det går an å gjøre antagelser slik at en ender opp med det som står i avhandlingen? Noen tips?