Klarer ikke å forstå dette:
La P[sub]2[/sub] være vektorrommet av alle reelle polynom med grad mindre eller lik 2 med basisen B=(1,x,x[sup]2[/sup]), og la T:P[sub]2[/sub]->P[sub]2[/sub] være den line operatoren gitt ved
T(a[sub]0[/sub]+a[sub]1[/sub]x+a[sub]2[/sub]x[sup]2[/sup])=(2a[sub]0[/sub]+a[sub]1[/sub])+(2a[sub]0[/sub]+a[sub]2[/sub])x+(a[sub]0[/sub]+3a[sub]1[/sub]-a[sub]2[/sub])x[sup]2[/sup].
Finn (T)[sub]B[/sub], ker(T) og av gjør om T er en entydig.
Kommer så langt at T=(t(1)B)|(t(x)B)|(t(x[sup]2[/sup])B), men vet ikke videre gangen i dette.
Vektorrom
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
http://projecteuler.net/ | fysmat
anno wrote:Klarer ikke å forstå dette:
La P[sub]2[/sub] være vektorrommet av alle reelle polynom med grad mindre eller lik 2 med basisen B=(1,x,x[sup]2[/sup]), og la T P[sub]2[/sub]->P[sub]2[/sub] være den lineære operatoren gitt ved
T(a[sub]0[/sub]+a[sub]1[/sub]x+a[sub]2[/sub]x[sup]2[/sup])=(2a[sub]0[/sub]+a[sub]1[/sub])+(2a[sub]0[/sub]+a[sub]2[/sub])x+(a[sub]0[/sub]+3a[sub]1[/sub]-a[sub]2[/sub])x[sup]2[/sup].
Finn (T)[sub]B[/sub], ker(T) og av gjør om T er en entydig.
Kommer så langt at T=(t(1)B)|(t(x)B)|(t(x[sup]2[/sup])B), men vet ikke videre gangen i dette.
[tex]T(1+0x+0x^2)=2+2x+x^2[/tex]
[tex]T(0+1x+0x^2)=1+0x+3x^2[/tex]
[tex]T(0+0x+1x^2)=0+x-x^2[/tex]
Så standardmatrisen til transformasjonen blir
[tex]T_B=\begin{pmatrix}2&1&0 \\2&0&1 \\1&3&-1\end{pmatrix}[/tex]
Kjernen til T, ker(T) er alle y slik at T(y)=0.
[tex]T(0+1x+0x^2)=1+0x+3x^2[/tex]
[tex]T(0+0x+1x^2)=0+x-x^2[/tex]
Så standardmatrisen til transformasjonen blir
[tex]T_B=\begin{pmatrix}2&1&0 \\2&0&1 \\1&3&-1\end{pmatrix}[/tex]
Kjernen til T, ker(T) er alle y slik at T(y)=0.
Det blir kanskje lettere å forstå dersom du bruker konvensjonen [tex](a_0,a_1,a_2)_B[/tex], altså en vektor relativt basisen B.
Da kan vi skrive transformasjonen som følger:
[tex]T(a_0,a_1,a_2)_B=(2a_0+a_1,2a_0+a_2,a_0+3a_1-a_2)_B[/tex].
Merk at dette ikke nødvendigvis er noen standard konvensjon, men det gjør kanskje at du ser analogien med vektornotasjon i f.eks. vanlig [tex]R^3[/tex]
Husk at vi vanligvis (i tredimensjonalt rom) skriver [tex](x,y,z)\equiv x\vec{i}+y\vec{j}+\vec{k}[/tex]. Her er i,j,k enhetsvektorene langs hhv. x,y,z-aksen. Bytter vi ut denne standardbasisen med den nye basisen [tex]1,x,x^2[/tex], får vi det vi er ute etter.
Da kan vi skrive transformasjonen som følger:
[tex]T(a_0,a_1,a_2)_B=(2a_0+a_1,2a_0+a_2,a_0+3a_1-a_2)_B[/tex].
Merk at dette ikke nødvendigvis er noen standard konvensjon, men det gjør kanskje at du ser analogien med vektornotasjon i f.eks. vanlig [tex]R^3[/tex]
Husk at vi vanligvis (i tredimensjonalt rom) skriver [tex](x,y,z)\equiv x\vec{i}+y\vec{j}+\vec{k}[/tex]. Her er i,j,k enhetsvektorene langs hhv. x,y,z-aksen. Bytter vi ut denne standardbasisen med den nye basisen [tex]1,x,x^2[/tex], får vi det vi er ute etter.