Geometri 7 - Omkrets Bevis

[Nebuchadnezzar]

Okai jeg har denne figuren vist på bildet under.
En sirkel med sentrum i origo og radius 5cm.
Utenfor sirkelen befinner det seg et punkt B der OB=13cm.
Også er det streket opp tangenter til sirkelen og B.
Punktet E befinner seg mellom C og D.

Oppgaven ber meg om å bevise at omkretsen av GFB alltid er den samme.
Først så prøvde jeg meg fram og fant ut at omkretsen av GFB er 24cm når E ligger på x aksen.

Videre fant jeg ut at CF = EF og EG = DG
OCF , ODG , OEF , OEG er alle sammen rettvinklede trekanter.

Men jeg klarer ikke å bevise geometrisk at omkretsen alltid er 24cm. Ville vært flott å få litt hjelp

[Nebuchadnezzar]

Klarte oppgaven

[Gommle]

Jeg fant et uttrykk for BF+EF og BG + EG uttrykt ved OC og OB.

O = [tex]2\sqrt{OB^2-OC^2}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Kan vel bare skrive hva jeg gjorde...

OBC er en rettvinklet trekant vi vet [tex]OC=5[/tex] cm og [tex]OB=13[/tex] cm
bruker pytagoras og finner ut at [tex]CB = 12[/tex] cm
Da er også [tex]DB=12cm [/tex]
Videre vet vi at omkretsen til [tex]GBF[/tex] er
[tex]O = GB + FB + FE + EG[/tex]

Vi vet at [tex]FB = CB - CF[/tex] og at [tex]GB = DB - DG [/tex]
Så vet vi at [tex]DG = EG[/tex] og at [tex]CF = FE [/tex]

[tex]O = GB + FB + FE + EG[/tex]

[tex]O = (DB - DG ) + (CB - CF) + (CF) + (DG)[/tex]

[tex]O = (12 - DG ) + (DG) + (12 - CF) + (CF) [/tex]

[tex]O = 24 [/tex]

[tex]Q.E.D[/tex]