Difflinking m. rekker.

[Betelgeuse]

skal løse

[tex]f^{\prime \prime}(z) + 4f(z) = 0,\ , f(0) = 1, f^{\prime}(0) = 1[/tex]

Jeg lar [tex]f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n[/tex] og får da ved å bruke difflikningen at

[tex]f(z) = \sum_{n=0}^\infty (a_{n+2}(n+2)(n+1) + 4a_n) = 0[/tex]

[tex]\Rightarrow a_{n+2} = -\frac{4a_n}{(n+2)(n+1)}[/tex]

Ved å sette inn for n=0,1,2,3,4,.. og bruke initialbetingelsene for å finne [tex]a_0[/tex] og [tex]a_1[/tex] får jeg at [tex]a_n = -\frac{2^n}{n!}[/tex] som betyr at den korresponderende rekken til f er [tex]f(z) = \sum_{n=0}^\infty -\frac{(2z)^n}{n!}[/tex].. men i fasit får de rekken

[tex]1 + z - \frac{4}{2!}z^2 - \frac{4}{3!}z^3 + \frac{4^2}{4!}z^4 + \frac{4^2}{5!}z^5+...[/tex]. Jeg ser at jeg er i nærheten, men skjønner ikke hvordan de kan få den til å alternere for hvert andre ledd. Hvor kan feilen ligge?

[FredrikM]

Legg merke til at hvert ledd avhenger kun av leddet to hakk tidligere, så du kan (må) lage to forskjellige formler for partallsledd og odde ledd.

Har ikke bevist formelen, (induksjon bør gjøre susen), men jeg kommer fram til
[tex]a_n=\frac{(-1)^{\frac{n+3}{2}}2^{n-1}}{n!}[/tex]
for n odde og
[tex]a_n=\frac{(-1)^{\frac{n}{2}+1}2^{n-1}}{n!}[/tex]
for n like.

[Betelgeuse]

Ah, nå ser jeg hvor jeg har gjort feil

[FredrikM]

Det virker forresten som om du på egenhånd har kommet godt over halvveis gjennom Analyse 2-stoffet. Creds!

[Betelgeuse]

Hehe, jepp. Har kost meg litt med det i sommer God hjelp å få her på forumet.

Jeg fikk forresten formlene:

[tex]a_{2n} = (-1)^n \frac{2^n}{(2n)!}[/tex] og [tex]\a_{2n+1} = (-1)^n\frac{2^n}{(2n+1)!}[/tex]

[FredrikM]

Ved innsetting ser jeg at min formel stemmer, ihvertfall.