Polynomer

[mariush]

Vis at om a er en rot med multiplisitet >= 2 i det reelle polynomet f(x), så er a også rot i f'(x).

Oppgaven er hentet fra kalkulus, 3.5.10, men jeg sitter helt støkk fast. Har prøvd å se på hva som skjer med et polynom hvor roten a går igjen to ganger når man deriverer, men klarer ikke finne en generell regel.

Noen inspill? Takk for svar!

[=)]

Man kan faktorisere et andregrads polynom $f$ hvis man har røttene $r_1$ og $r_2$ på følgende måte

$f(x)=a{x}^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)$

Siden $f$ i dette tilfellet har dobbeltrot setter vi $r_1=r_2$ også kaller vi roten bare $r$ for enkelhetens skyld, da får vi at

$f(x)=a(x-r{)}^2$

Kanskje du nå ser hva du kan gjøre?

[mariush]

Rotet meg litt bort i den deriverte av et polynom med n ledd, men nå som svaret er rett for nesen min, er det ikke så vanskelig å se takk

[=)]

Jeg ser ut til å ha lest oppgaven litt for fort, brukte $a$ feil også huff og huff.

Vi har et $n$'te grads polynom her ja

Da er som du vet $f(x)=c_n{x}^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +c_0=c_n(x-r_1)\dots (x-r_n)$

Ikke minst er (hvis vi lar multiplisiteten til roten $a$ være $m$) $f(x)=c_n(x-r_1)\dots (x-a{)}^m\dots (x-r_n)$

Vi lar så $g(x)=(x-a{)}^m$ og $j(x)$ være alle de andre røttene ganget med $c_n$ slik at $f(x)=g(x)j(x)$.

Vi får da at

$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)j(x)+g(x)j^{\prime }(x)$

Hvor $g(a)=0$ og $g^{\prime }(x)=m\cdot (x-a{)}^{m-1}$ slik at $g^{\prime }(a)=0$.

Da får vi at $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)j(a)+g(a)j^{\prime }(a)=0+0=0$.

Beklager rotet.