Gitt flaten F: 2(x^2) + 3(y^2) - (z^2) = 1
a) Finn likningen for tangentplanet til flaten i punktet P: (1, 1, -2).
b) Finn alle punkt på F der normallinjen til tangentplanet går gjennom origo.
OK, a) får jeg til uten problemer:
Grad (x,y,z) = 4xi + 6yj - 2zk
Ligningen for planet blir: 4(x - 1) +6 (y -1) -2(z +2)
Eller: 4x + 6y -2z = 6
b) stod jeg imidlertid fast på, så til slutt så jeg i fasiten. Men jeg forstår ikke logikken i hva fasiten skriver. Det står:
Skal ha 4xi + 6yj - 2zk = c(xi + yj + zk). Hvis x
[symbol:ikke_lik] 0 må c = 4 og y = z = 0. Dette gir punktene ( [symbol:plussminus] 1/ [symbol:rot] 2, 0, 0). Analogt finner vi punktene (0, [symbol:plussminus] 1/ [symbol:rot] 3, 0) og dette er de eneste punktene da den gitte F ikke har noen løsning med z [symbol:plussminus] 0 og samtidig x = y = 0.
OK. Jeg ser jo det at dersom man setter c = 4, y = 0 og z= 0, eller c= 6, x = 0, z = 0 vil man få de gitte punktene. Jeg ser også at vi ikke har noen løsning for x = y = 0 ettersom vi da får (z^2) = -1. Men hva er logikken i at man løser oppgaven på denne måten? Hva er tankegangen i at man setter gradienten lik c(xi + yj + zk), og så resonnerer slik man har gjort i oppgaven? Jeg kan selvsagt pugge denne fremgangsmåten for å huske det i fremtiden, men jeg har lyst til å forstå hvorfor man gjør det man gjør. Mao - hvorfor gir denne fremgangsmåten de punktene hvor normallinjen til tangentplanet går gjennom origo?
Normallinje til tangentplan
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ingen som kan gi meg en liten forklaring på dette? Som sagt, det eneste jeg egentlig lurer på er hvorfor man i b) setter opp at:
4xi + 6yj - 2zk = c(xi + yj + zk).
Alle utregningene som gjøres i kjølvannet av dette er jeg med på. Jeg ville imidletid satt veldig, veldig stor pris på om noen kunne forklart enkelt og pedagogisk hvorfor man starter oppgaven slik.
4xi + 6yj - 2zk = c(xi + yj + zk).
Alle utregningene som gjøres i kjølvannet av dette er jeg med på. Jeg ville imidletid satt veldig, veldig stor pris på om noen kunne forklart enkelt og pedagogisk hvorfor man starter oppgaven slik.
Ved å betrakte flaten i rommet som en av nivåflatene til en 3-dimensjonal "flate" i et 4-dimensjonalt rom, si F(x,y,z)=w med[tex] F(x,y,z)=2x^2 + 3y^2 - z^2[/tex], vil jo grad(F) evaluert i punktet (x,y,z) peke parallelt med normalvektoren til tangentplanet til nivåflata i det samme punktet. For at denne skal gå gjennom origo må grad(F) være parallell med posisjonsvektoren til dette punktet, altså må [tex]grad(F)(x,y,z)=c(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}) [/tex]
Tusen takk! Nå forstår jeg. Veldig logisk egentligplutarco wrote:Ved å betrakte flaten i rommet som en av nivåflatene til en 3-dimensjonal "flate" i et 4-dimensjonalt rom, si F(x,y,z)=w med[tex] F(x,y,z)=2x^2 + 3y^2 - z^2[/tex], vil jo grad(F) evaluert i punktet (x,y,z) peke parallelt med normalvektoren til tangentplanet til nivåflata i det samme punktet. For at denne skal gå gjennom origo må grad(F) være parallell med posisjonsvektoren til dette punktet, altså må [tex]grad(F)(x,y,z)=c(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}) [/tex]
