Potensregning

[Danieluh]

Heisann!
Har regna en del på standardform og binære, oktale og hexadesimale tall i kap 1 i det siste.
Synes det stort sett går veldig lett.. Men det stykket her skjønner jeg ingenting av.. Får bare ikke svaret til å bli 4,2 * 10^-12

Stykket er slik:
(5,1 * 10^-3 + 2,0 * 10^-4)^5

Det jeg har lært er at potensen etter en parentes skal legges til alle tallene innafor..
5,1^5 * 10^-3*5 + 2^5 * 10^-4*5

- ganger + blir jo -
3450 * 10^-15 + 32 * 10^-20

Ser ikke noen annen måte å gjøre det på frem til hit, og uansett hva jeg gjør videre får jeg bare ikke 4,2 * 10^-12!

Noen som kan hjelpe?

[Vektormannen]

Det er slettes ikke rett at [tex](a+b)^n = a^n + b^n[/tex]. Jeg går ut i fra at du har lært kvadratsetninger -- disse dreier seg jo nettopp om slike uttrykk, når eksponenten er 2. I det tilfellet har du jo at [tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex]. Når eksponenten er 5 blir det mye verre.

Det du må gjøre er å se på det som noe slikt som

[tex](5.1 \cdot 10^{-3} + 2.0 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-1})^5\\=((5.1 + 2.0 \cdot 10^{-1})10^{-3})^5 \\=(5.3 \cdot 10^{-3})^5[/tex]

[Danieluh]

Ahh..
Thanks^^

Ligner ikke på noe av det vi har lært, men metoden så genial ut
Får prøve ut tankegangen noen ganger og prøve å ta den med meg videre


Edit: Men skjønte ikke helt den teksten du skreiv før regnestykket..
Vi har lært 5 regneregler for potensregning, og en av dem er nettopp den du sa ikke stemte, altså (a+b)^n = a^n + b^n.....
Eller gjelder det bare når det er gange inne i parentes?
At man må løse opp alle plusser først?

[Danieluh]

Sitter nå å gjør dissa ekstraoppgavene.. og plutselig dukker det opp et +/- stykke.. og da slår det meg.. at i Sinus for allmen påbygg VG3 så står det kun om miltiplikasjon og divisjon med og uten parentes, og ingenting om pluss og minus..

3^12-3^10
3^11+3^10

Må jeg regne om til "vanlige" tall da, eller finnes det noen snarvei?
Vi skal liksom regne det ut uten kalkulator, så regner med at det finnes en enklere måte enn å gange 3 med seg selv 12 ganger osv.

[Vektormannen]

Ja, dette går an å regne ut uten kalkulator. Trikset du må gjøre er det samme som jeg gjorde ovenfor her. Du må faktorisere.

Er du enig i at [tex]3^{12} = 3^{10} \cdot 3^2[/tex]?

I telleren får du da [tex]3^{12} - 3^{10} = 3^{10} \cdot 3^2 - 3^{10}[/tex]. I begge leddene her, har du en faktor [tex]3^{10}[/tex]. Denne kan du da trekke ut -- du gjør det motsatte av det du gjør når du ganger inn i en parentes. Da får du i telleren [tex]3^{10}(3^2 - 1)[/tex]. Kontroller dette ved å gange inn igjen. Da skal du jo få tilbake det som sto der i oppgaven.

Følg samme fremgangsmåte i nevneren. Ser du noe smart du kan gjøre etterpå?

[Danieluh]

Genialt^^
Og på den nederste blir det 3^10 * 3^1 + 3^10^^

Men skjønte ikke åssen du gikk fram for å få 3*10(3^2-1) :S
Så ikke logikken, selv om kalkulatoren får det til å stemme

Men ser ikke helt hva jeg skal gjøre for noe smart videre nei.. :/

[Vektormannen]

Jeg er ganske sikker på at det står forklart hvordan du faktoriserer i boken din. Å faktorisere et uttrykk vil si å dele det opp i to eller flere faktorer (ting som er ganget sammen.) Det er det motsatte av å gange sammen, hvor du tar et uttrykk med flere faktorer og ganger disse sammen til én.

Er du enig i at hvis du har et tall ab + ac så kan du skrive det som a(b + c)? Det som er gjort er at begge leddene er delt på a. Det resterende er satt parentes rundt, og så er det ganget med a. Hvis du ganger inn igjen a, får du ab + ac igjen. Det samme er det jeg har gjort ovenfor her.

For å fortsette med uttrykket ditt, du utfører samme prosess i nevneren også. Da får du at [tex]\frac{3^{12} - 3^{10}}{3^{11} + 3^{10}} = \frac{3^{10}(3^2 - 1)}{3^{10}(3 + 1)}[/tex]

Ser du nå hva du kan gjøre for å forenkle kraftig?

[Danieluh]

Ahh.. da kan jeg stryke 3^10 mot hverandre, og ta 9-1 / 4 som er 2^^
Men er det med +/- 1 sånn standardgreie jeg bare må lære meg?
eller kunne det i andre tilfeller vært +/- 4, 7 eller 8 osv?

Btw. Nei, det står ikke noe om faktorisering osv. i boka..
Men husker ordet faktorisering fra ungdomsskola ja..

[Vektormannen]

Tror ikke jeg forstår helt hva du mener. Kan du utdype? Er det noe med faktoriseringen i teller og nevner her du ikke er med på?

[Danieluh]

Det jeg ikke skjønner er 3^10 * (3^2 - 1)

Åssen veit jeg at det skal være -1 der?
Er det alltid sånn i den type regnestykker?
Eller kunne det i et annet regnestykke hende det skulle stått f.eks. -2?

[Vektormannen]

Husk at du skal få tilbake det du begynte med hvis du ganger inn igjen. Hvis ikke har du gjort feil. Hvis det hadde stått -2 der, hadde du fått dette når du ganger inn: [tex]3^{10}(3^2 - 2) = 3^{12} - 2 \cdot 3^{10}[/tex]. Det er ikke riktig.

Jeg kan ta faktoriseringen veldig nøye. Du begynner med følgende:

[tex]3^{12} - 3^{10}[/tex]

Vi observerer at det går an å skrive ledde til venstre som [tex]3^{10} \cdot 3^2[/tex]. I leddet til høyre har vi [tex]3^{10} = 3^{10} \cdot 1[/tex]. Vi ser at vi har en felles faktor i de to leddene, nemlig [tex]3^{10}[/tex]. Da kan vi dele begge ledd på den faktoren. Det som blir igjen setter vi parentes rundt og så ganger vi parentesen med [tex]3^{10}[/tex].

[tex]3^{10} \cdot 3^2 - 3^{10} \cdot 1 = 3^{10}\left(\frac{3^{10} \cdot 3^2}{3^{10}} - \frac{3^{10} \cdot 1}{3^{10}}\right) = 3^{10}(3^2 - 1)[/tex]

[Danieluh]

Ahh ;D
Da skjønte jeg det bedre^^

Mente ikke at jeg ville bytte ut med -2 i dette regnestykket, men om det kunne vært andre tall, som f.eks. -2 i andre lignende regnestykker, men ser ut til at det alltid vil være enten pluss eller minus 1

Prøvde ut neste stykke, og takket være deg skjønte jeg litt av det og^^

8 * (5^13 + 5^12)
5^12 - 5^11

8 * (5^12 (5 + 1))
5^11 (5-1)

8 * 5 * 6
4

40 * 60
4

240/4 = 60

Hah! Så gøy!

[Vektormannen]

Flott

Faktorisering er det bare å begynne å øve på. Du kommer sikkert snart til algebra og ligningsløsning i pensum, og da må man ofte faktorisere.

edit: det blir forresten ikke alltid + eller - 1. Det er bare fordi akkurat disse oppgavene er formet slik. Se f.eks. på den oppgaven du spurte om aller først. Der også faktoriserte jeg. Forstår du hva jeg gjorde der nå?

[Danieluh]

Skjønte første oppgaven etterhvert ja
Blir nesten som når man regner sammen gram og milligram f.eks. så må man jo regne om til samme enhet før man regner ut^^


Men neste oppgave er

Vis at
3^n + 3^n = 4 * 3^n....

Den skjønte jeg ikke..
Hvor blei av den andre n'en? åssen blei ^1 plutselig 3+1, eller hva som skjedde..?

Alle de andre oppgavene har vært så enkle og overlogiske at det har vært temmelig lett.. så kommer det noen ekstra vanskelige på slutten, og da mangler jeg liksom litt grunnlag..

[Vektormannen]

Enten må du ha skrevet oppgaven feil, eller så er det feil i oppgaven. Det som står der stemmer hvertfall ikke. Bare prøv med f.eks. n = 1. Da får du 3^1 + 3^1 = 6 på venstre side og 4 * 3 = 12 på høyre.