Dimensjon til underrom (bevis).

[Betelgeuse]

La H være et underrom av et vektorrom V, og la T(H) være avbildningen av H når T: V -> W. Jeg skal bevise at $dimT(H)\le dimH$.

Gikk frem som følger:

La $\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$ være en basis for H, sa $SpanB=H$. Da vet jeg at enhver vektor x i H kan skrives som en linærkombinasjon av vektorene i B, dvs

$x=c_1{v}_1+...+c_k{v}_k$.

men da x er en vilkåelig vektor i H, så er jo

$T(x)=c_{1}T(v_1)+...+c_{k}T(v_k)$

og T(x) er en vilkåelig vektor i T(H)
som betyr at en hver vektor i T(H) kan skrives som en linærkombinasjon av vektorene i mengden $\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$, så T(H) = Span C. Videre danner jo B en basis for H så vektorene i B må jo være linært uavhengig. Da følger det jo at siden

$c_1{v}_1+...+c_k{v}_k=0\iff c_1=...=c_k=0$
$\Rightarrow c_{1}T(v_1)+...+c_{k}T(v_k)=0\iff c_1=...=c_k=0$

Som betyr at vektorene i C også er linært uavhening. Dermed danner disse en basis for T(H) og dim T(H) er også k.
Men av dette følger det jo t hvis H har k basisvektorer så er dim H = k = dim T(H).

Jeg skulle jo bare vise at dim T(H) <= dim H.. Er det noen huller her?

[FredrikM]

La $h_1,\dots ,h_n$ være en basis for H. Da er billedrommet $T(H)$ utspent av $T(h_1),\dots ,T(h_n)$. Men denne trenger ikke være en basis. For om T ikke er injektiv har vi at $T(\sum c_i{v}_i)=T(\sum k_i{v}_i)$ for noen konstanter $c_i,k_i$. Dette impliserer at $\sum T(v_i)(c_i-k_i)=0$, så $T(v_i)$ er lineært avhengige. Så $\dim T(H)\le \dim H$

[Betelgeuse]

Ah! Der var det ja Bildet er jo surjektivt per definisjon, men det trenger ikke være injektivt. Takk Fredrik:)