Lineær algebra - diskrete dyamiske systemer

[krje1980]

I oppgaver hvor man skal arbeide med diskrete dynamiske systemer skal man som regel se hvordan et system utvikler seg over tid. Man er gjerne gitt en x0 og en matrise A. Vi skal så se hva som skjer etter hvert som vi multipliserer x0 med A mange ganger.

Denne typen oppgaver klarer jeg egentlig å løse helt fint. Det jeg gjør er å finne egenverdier og egenvektorer til A. Deretter skriver jeg x0 som en lineær kombinasjon av egenvektorene. La oss si at A har to egenvektorer. Da skriver jeg:

x0 = c1v1 + c2v2

Deretter finner jeg:

(A^k)x0 = ((ƛ1)^k)c1v1 + ((ƛ2)^k)c2v2

Som da gir meg utviklingen av systemet over tid.

Mitt spørsmål er imidlertid: Hvorfor er det slik at vi kan skrive x0 som en kombinasjon av egenvektorene? Hva er logikken bak dette? Som sagt - jeg vet hvordan jeg løser oppgavene, men ønsker også å forstå nøyaktig hva tankegangen bak utregningene er.

Setter stor pris på om noen kort kan forklare dette.

[FredrikM]

Et ofte brukt resultat i lineær algebra sier at om en matrise A har forskjellige egenverdier, så danner egenvektorene en basis for rommet. Siden de danner en basis, kan enhver vektor skrives som en lineærkombinasjon av disse.

(dette er Theorem 2 i kap 5.1 i pensumboken i MAT1120)

[krje1980]

Tusen takk