Hei.
Jeg sliter litt med å forstå fremgangsmåten i å løse integral ligninger med parametre. Dette er ikke forklart særlig bra i boken.
Jeg har følgende oppgave:
f(x) = x + [symbol:integral] (x - 2t)f(t) dt
(Hvor integralet er definert i intervallet [0, x].
Jeg får:
f'(x) = 1 + (x - 2x)f(x) + [symbol:integral] f(t)dt
(Samme intervall hvor integralet er definert)
Altså:
f'(x) = 1 -xf(x) + [symbol:integral] f(t)dt
Deriverer igjen og får:
f''(x) = -f(x) -xf'(x) + f(x)
f''(x) = -xf'(x)
Ved å sette x = 0 i det opprinnelige uttrykket får vi:
f(0) = x
Ved å sette x = 0 i det deriverte uttrykket får vi:
f'(0) = 1
Som da gir:
f''(x) = -x
Jeg integrerer så f''(x) og får:
f'(x) = (-(x^2)/2) + C
Ettersom vi vet at f'(x) = 1 for x = 0 må C = 1. Altså har vi:
f'(x) = (-(x^2)/2) + 1
Integrerr igjen og får:
f(x) = (-(x^3)/6) + x + D
Vi vet at f(0) = x, så D = x.
Får da ligningen:
f(x) = (-(x^3)/6) + x + x
f(x) = (-(x^3)/6) + 2x
I fasiten står det imidlertid at jeg skal få svaret:
f(x) = [symbol:integral] e^((-(t^2)/2))dt
(Hvor integralet er definert fra 0 til x).
Jeg skjønner imidlertid ikke hvordan man kommer frem til dette. Som sagt, jeg har ikke så mye innsikt i denne typen ligninger, og det kan godt være jeg har løst oppgaven riv ruskende galt.
Setter derfor stor pris på om noen kan forklare fremgangsmåten i oppgaven.
Integral ligning med parameter
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]f^{,,}(x)=-xf^,(x)[/tex]
Triks:
Sett [tex]u=f^,[/tex] for å oppnå en 1.ordens diff.ligning:
[tex]u^,+xu=0[/tex]
Integrerende faktor er [tex]e^{\frac{x^2}{2}}[/tex] hvilket gir
[tex](ue^{\frac{x^2}{2}})^,=0[/tex].
Dermed er [tex]ue^{\frac{x^2}{2}}=c=1[/tex] (av betingelsen [tex]f^,(0)=1[/tex] ) så
[tex]f^,(x)=u=e^{-\frac{x^2}{2}}[/tex] og følgelig
[tex]f(x)=f(0)+\int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt[/tex]
(Utifra fasiten kan det virke som initialbetingelsen er at f(0)=0)
Triks:
Sett [tex]u=f^,[/tex] for å oppnå en 1.ordens diff.ligning:
[tex]u^,+xu=0[/tex]
Integrerende faktor er [tex]e^{\frac{x^2}{2}}[/tex] hvilket gir
[tex](ue^{\frac{x^2}{2}})^,=0[/tex].
Dermed er [tex]ue^{\frac{x^2}{2}}=c=1[/tex] (av betingelsen [tex]f^,(0)=1[/tex] ) så
[tex]f^,(x)=u=e^{-\frac{x^2}{2}}[/tex] og følgelig
[tex]f(x)=f(0)+\int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt[/tex]
(Utifra fasiten kan det virke som initialbetingelsen er at f(0)=0)
