matematikk.net

Hei.

Jeg sliter litt med å forstå fremgangsmåten i å løse integral ligninger med parametre. Dette er ikke forklart særlig bra i boken.

Jeg har følgende oppgave:

f(x) = x + [symbol:integral] (x - 2t)f(t) dt

(Hvor integralet er definert i intervallet [0, x].

Jeg får:

f'(x) = 1 + (x - 2x)f(x) + [symbol:integral] f(t)dt

(Samme intervall hvor integralet er definert)

Altså:

f'(x) = 1 -xf(x) + [symbol:integral] f(t)dt

Deriverer igjen og får:

f''(x) = -f(x) -xf'(x) + f(x)

f''(x) = -xf'(x)

Ved å sette x = 0 i det opprinnelige uttrykket får vi:

f(0) = x

Ved å sette x = 0 i det deriverte uttrykket får vi:

f'(0) = 1

Som da gir:

f''(x) = -x

Jeg integrerer så f''(x) og får:

f'(x) = (-(x^2)/2) + C

Ettersom vi vet at f'(x) = 1 for x = 0 må C = 1. Altså har vi:

f'(x) = (-(x^2)/2) + 1

Integrerr igjen og får:

f(x) = (-(x^3)/6) + x + D

Vi vet at f(0) = x, så D = x.

Får da ligningen:

f(x) = (-(x^3)/6) + x + x

f(x) = (-(x^3)/6) + 2x

I fasiten står det imidlertid at jeg skal få svaret:

f(x) = [symbol:integral] e^((-(t^2)/2))dt

(Hvor integralet er definert fra 0 til x).

Jeg skjønner imidlertid ikke hvordan man kommer frem til dette. Som sagt, jeg har ikke så mye innsikt i denne typen ligninger, og det kan godt være jeg har løst oppgaven riv ruskende galt.

Setter derfor stor pris på om noen kan forklare fremgangsmåten i oppgaven.

Hm.

Jeg ser jeg har gjort en liten feil. F(0) blir 0 og ikke x.

Likevel vil det si at eneste forskjell er at jeg får siste ledd til å bli:

f(x) = (-(x^3)/6) + x

Som jo fremdeles er langt i fra det svaret som er i fasiten.

[tex]f^{,,}(x)=-xf^,(x)[/tex]

Triks:
Sett [tex]u=f^,[/tex] for å oppnå en 1.ordens diff.ligning:

[tex]u^,+xu=0[/tex]

Integrerende faktor er [tex]e^{\frac{x^2}{2}}[/tex] hvilket gir

[tex](ue^{\frac{x^2}{2}})^,=0[/tex].

Dermed er [tex]ue^{\frac{x^2}{2}}=c=1[/tex] (av betingelsen [tex]f^,(0)=1[/tex] ) så

[tex]f^,(x)=u=e^{-\frac{x^2}{2}}[/tex] og følgelig

[tex]f(x)=f(0)+\int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt[/tex]

(Utifra fasiten kan det virke som initialbetingelsen er at f(0)=0)

Tusen takk!

Jeg har ikke tatt diff.ligninger på universitetsnivå enda (skal ta det til våren), så har ikke så god erfaring i å løse slike oppgaver. Men forstår godt fremgangsmåten din!

En annen mulighet er å løse den som en separabel ligning:

[tex]\frac{u^,}{u}=-x[/tex] så integrerer man mhp. x fås

[tex]\int \frac{1}{u}\frac{du}{dx}\,dx=\int \frac{du}{u}=\int -x\,dx[/tex]

Tusen takk igjen