Derivere ln x og kjerneregelen

[lindakatt]

Hei! Jeg lurer på hvorfor den deriverte av ln x blir 1/x. Jeg vil ikke bare "akseptere" at det er sånn! Hehe. Finner ingen forklaring på dette i læreboka mi (Sigma R1).

Også dette med kjerneregelen. Hvordan går man frem om det er flere kjerner i en funksjon? Jobber man seg "utenfra og inn", eller motsatt? Er to oppgaver jeg ikke får til;

Denne:
F(x) = [symbol:rot] 1+(1+X)^2
Her vil vel kjernen være 1+(1+X)^2 og kjernen i det uttrykket 1+X. Men hvordan går jeg frem fo å derivere funksjonen? Hva begynner jeg med?

Også denne:
F(x) = [symbol:rot] 2+ [symbol:rot] X
(her er hele uttrykket under den første roten, dermed vil vel den indre funksjonen være 2+ [symbol:rot] x, og deretter x inni der igjen.

Jeg har forsøkt, men det blir bare rot utav det:



1/2( [symbol:rot] 2+ [symbol:rot] x * (2+ [symbol:rot] x)^-1/2)

1/2( [symbol:rot]2+ [symbol:rot] x * -1/2(2+ [symbol:rot] x)^-1)

1/2 ([symbol:rot] 2 [symbol:rot] x * - 1/(2 + [symbol:rot] X)

1/2 ([symbol:rot] 2+ [symbol:rot] x * -1/(2+1/2 *x^-1)

......??

[Vektormannen]

Hvorfor den deriverte av ln x blir 1/x kan ikke bevises ordentlig på vgs-nivå, men dette er et forsøk på en forklaring:

Se på ligningen [tex]e^{\ln x} = x[/tex]. Dette går jeg ut i fra at du er kjent med -- det er jo på en måte definisjonen av ln (det er det tallet du må opphøye e i for å få x.) Vi lar [tex]u=\ln x[/tex] og deriverer begge sider. Da må vi bruke kjerneregelen, som sier at vi skal derivere [tex]e^u[/tex] med hensyn på kjernen, u, og gange dette med den deriverte av kjernen med hensyn på x:

[tex](e^u)^\prime(u) \cdot u^\prime = 1[/tex]

Vi vet at den deriverte av [tex]e^u[/tex] med hensyn på u må bli [tex]e^u[/tex]. Så da får vi:

[tex]e^u \cdot u^\prime = 1[/tex]

Hvis vi nå bytter tilbake [tex]\ln x[/tex] for u, får vi

[tex]e^{\ln x} \cdot (\ln x)^\prime =1 [/tex]

Men [tex]e^{\ln x} = x[/tex], så

[tex]x \cdot (\ln x)^\prime = 1[/tex]

Da er [tex](\ln x)^\prime = \frac{1}{x}[/tex], og vi er i mål.

Når det gjelder oppgavene dine, begynn med den ytterste. Deriver denne med hensyn på kjernen ([tex]1 + (1+x)^2[/tex]), og gang med den deriverte av kjernen. Når du så skal finne den deriverte av kjernen, gjør du samme prosess om igjen.

[tex]F^\prime(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + (1+x)^2}} \cdot (1 + (1+x)^2)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{1 + (1+x)^2}} \cdot 2(1+x) \cdot (1 + x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{1 + (1+x)^2}} \cdot 2(1+x) \cdot 1[/tex]

Etter hvert likhetstegn her, har jeg gjort et nytt steg i prosessen beskrevet over. Se om du ikke får til den andre på samme måte.

[Sievert]

Hei! Jeg lurer på hvorfor den deriverte av ln x blir 1/x. Jeg vil ikke bare "akseptere" at det er sånn! Hehe. Finner ingen forklaring på dette i læreboka mi (Sigma R1).

Også dette med kjerneregelen. Hvordan går man frem om det er flere kjerner i en funksjon? Jobber man seg "utenfra og inn", eller motsatt? Er to oppgaver jeg ikke får til;

Denne:
F(x) = [symbol:rot] 1+(1+X)^2
Her vil vel kjernen være 1+(1+X)^2 og kjernen i det uttrykket 1+X. Men hvordan går jeg frem fo å derivere funksjonen? Hva begynner jeg med?

Også denne:
F(x) = [symbol:rot] 2+ [symbol:rot] X

Takknemlig for hjelp

Hei, for bevis av ln(x) kan du se på denne linken: http://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkU ... re=channel

For den første [tex]F(x)=sqrt(1+(1+x)^2)[/tex] må du her sette 2 kjerner. Sett [tex](1+(x+1)^2) = u[/tex] og sett [tex](x+1) = z[/tex] også bruker du vanlige derivasjonsregler mhp. kjerneregelen.

[tex]sqrt(u) = u^(1/2)[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}u^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot u^{-1/2}[/tex]

[tex]u^{-1/2} = 1/sqrt(u)[/tex]

Da har du: [tex]\frac{1}{2 \cdot sqrt(u)} \cdot \frac{d(1+x)^2}{dx}[/tex]

Vi har at [tex]z = (x+1)[/tex]

Deriverer og ganger med kjernen og får at:

[tex]\frac{2(x+1)}{2sqrt(1+(x+1)^2)} = \frac{(x+1)}{sqrt(1+(x+1)^2)}[/tex]

Har ikke sett gjennom så kan hende det er noen feil

Edit: Se på side 168 i boka di. Står vel egentlig veldig enkelt forklart hvordan d/dx(ln(x)) = 1/x. Men det er vel mye av det samme som Vektormannen sier

[lindakatt]

tusen takk!! Da forstod jeg det, og lignende oppgaver. Så da gjenstår det kun ett problem, jeg finner ikke ut av hvordan jeg skal gjøre det når det er flere røtter med i funksjonen. Får det bare ikke riktig, og er usikker på hva jeg gjør feil på veien;

[symbol:rot] (2+ [symbol:rot] x)

1/2 [symbol:rot] (2+ [symbol:rot] x) * (2+ [symbol:rot] x)'

1/2 [symbol:rot] (2+ [symbol:rot] x) * 1/2 [symbol:rot] x * 1
...???
Det blir jo bare feil. ARG! Matte er veldig gøy når man får til, fryktelig irriterende når man står fast på èn oppgave. Skjønner virkelig ingenting her, får til alt annet! Hva er galt?

[Vektormannen]

Jeg syns det ser ut som du har gjort riktig, jeg, hvis jeg tolker deg rett:

[tex]f^\prime(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt x}[/tex]

Hvis fasiten sier noe annet så har de enten forenklet noe, eller skrevet det om, ellers er fasiten feil. Uttrykket ditt kan skrives om litt, ved at du ganger sammen 2 og 2, og ganger sammen de to røttene:

[tex]\frac{1}{2\sqrt{2 + \sqrt x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{1}{4\sqrt{2x + x\sqrt x}}[/tex]

[lindakatt]

Aha! Så fint da Da fikk jeg det til tilslutt. Glemte bare i farta å sjekke om jeg hadde trukket sammen uttrykket rikitg (god gammeldags slurvefeil), og det hadde jeg ikke, oppi alt stresset med å derivere riktig. Hehe. Men da fikk jeg til tilslutt, hurra! Tusen takk for hjelpen!

[lindakatt]

Hei, for bevis av ln(x) kan du se på denne linken: http://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkU ... re=channel

Fantastisk link, forresten! Brukt flere timer på å sitte og glo på beviser og forklaring. Utrolig nyttig, og veldig gøy. Så tusen takk for linken, skal anbefales videre